Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral iterada:
integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como a região de integração está definida pelos limites dados e, se necessário, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida com variando de 0 a 4, e para cada , varia de até .
Para visualizar isso, imagine um gráfico onde o eixo vertical é e o horizontal é . Para cada valor de entre 0 e 4, vai de um limite à esquerda até um limite à direita .

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração:
  1. Limite inferior de -raiz4 - y = y - 42 :
    Isso representa a parte esquerda de uma parábola, já que ou .
  2. Limite superior de :
    Essa é uma linha reta que pode ser reescrita como .
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber até onde a região se estende:
Resolvendo essa equação, encontramos que as curvas se cruzam em e .

Passo 4

Agora que entendemos a região, vamos ver se é mais fácil calcular a integral na ordem dada ou trocar a ordem de integração.
Calculando na ordem atual:
integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y , dx , dy
Integrar em relação a pode ser feito, mas a expressão complica um pouco. Vamos tentar trocar a ordem de integração.

Passo 5

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando a região:
  • integral-2^1 integral0^4 - x^2 x y , dy , dx varia de 0 a 4.
  • Para cada , varia de (ou a linha inferior) até e também até .
Os novos limites serão:
Aqui, varia de a (obtido das interseções das curvas), e para cada , vai de 0 até .

Resposta

Após trocar a ordem de integração e resolver, a integral vale zero.

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