Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral iterada:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como a região de integração está definida pelos limites dados e, se necessário, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida com
variando de 0 a 4, e para cada
,
varia de
até
.
Para visualizar isso, imagine um gráfico onde o eixo vertical é
e o horizontal é
. Para cada valor de
entre 0 e 4,
vai de um limite à esquerda
até um limite à direita
.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração:
-
Limite inferior de
:
Isso representa a parte esquerda de uma parábola, já queou . -
Limite superior de
:
Essa é uma linha reta que pode ser reescrita como.
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber até onde a região se estende:
Resolvendo essa equação, encontramos que as curvas se cruzam em
e
.
Passo 4
Agora que entendemos a região, vamos ver se é mais fácil calcular a integral na ordem dada ou trocar a ordem de integração.
Calculando na ordem atual:
Integrar
em relação a
pode ser feito, mas a expressão
complica um pouco. Vamos tentar trocar a ordem de integração.
Passo 5
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando a região:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
, varia de (ou a linha inferior) até e também até .
Os novos limites serão:
Aqui,
varia de
a
(obtido das interseções das curvas), e para cada
,
vai de 0 até
.
Resposta
Após trocar a ordem de integração e resolver, a integral vale zero.