Usando integração, mostre que a área de um círculo de raio a é pi a^2. Mostre cada passo detalhadamente.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para mostrar, usando integração, que a área de um círculo de raio é . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em coordenadas polares, que é muito útil para calcular áreas de formas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de uma figura plana pode ser encontrada integrando pequenas áreas que compõem a figura. No caso de um círculo, podemos dividir a área em infinitos setores circulares pequenos e somá-los.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trabalhar em coordenadas polares, onde cada ponto é definido por um ângulo e uma distância do centro. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui, varia de 0 até o raio do círculo, e varia de 0 a radianos para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a . A integral de com respeito a é:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral externa em relação a :

Passo 6

A integral de de 0 a é simplesmente :

Passo 7

Multiplicando os resultados:

Resposta

A área de um círculo de raio é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y d x d y
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral-2^1 integralx^2+4 x^3 x+2 d y d x
Calcule, utilizando frações parciais e mostrando cada passo da decomposição e integração, a seguinte integral
integral 7 x^2-13 x+13(x-2)(x^2-2 x+3) d x
Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos x a região limitada pela curva y = sen(x), x ∈ [0, 2pi]. Mostre todos os passos detalhadamente.