Usando integração, mostre que a área de um círculo de raio
é
. Mostre cada passo detalhadamente.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para mostrar, usando integração, que a área de um círculo de raio
é
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em coordenadas polares, que é muito útil para calcular áreas de formas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de uma figura plana pode ser encontrada integrando pequenas áreas que compõem a figura. No caso de um círculo, podemos dividir a área em infinitos setores circulares pequenos e somá-los.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trabalhar em coordenadas polares, onde cada ponto é definido por um ângulo
e uma distância
do centro. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui,
varia de 0 até o raio
do círculo, e
varia de 0 a
radianos para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a
. A integral de
com respeito a
é:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral externa em relação a
:
Passo 6
A integral de
de 0 a
é simplesmente
:
Passo 7
Multiplicando os resultados:
Resposta
A área de um círculo de raio
é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Calcule, utilizando frações parciais e mostrando cada passo da decomposição e integração, a seguinte integral
Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos
a região limitada pela curva
. Mostre todos os passos detalhadamente.