Calcule, utilizando frações parciais e mostrando cada passo da decomposição e integração, a seguinte integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma fração usando frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para separar os termos e depois integrar cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de uma fração simples sobre
e outra fração sobre
. Então, assumimos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores comuns
para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da equação 1:
Agora, substituímos
na equação 2:
Agora que temos
, substituímos
e
na equação 3:
E lembrando que
:
Então, encontramos
,
e
.
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada parte separadamente. A integral original se torna:
Primeiro, integramos
:
Passo 8
Agora, vamos integrar
. Para simplificar, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição:
Seja
, então
, e
.
Então, a integral se torna:
Passo 9
Vamos dividir a fração:
Agora, vamos integrar cada termo:
Aqui, fazemos a substituição
, então
. A integral fica:
Aqui, reconhecemos a forma da integral que resulta em arcotangente:
Passo 10
Agora, juntando tudo:
Substituindo
:
Passo 11
Agora, reunindo todas as partes integradas:
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Usando integração, mostre que a área de um círculo de raio
é
. Mostre cada passo detalhadamente.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos
a região limitada pela curva
. Mostre todos os passos detalhadamente.
. Houve uma epidemia de um vírus na população de uma cidade, de 1000.000 habitantes. Inicialmente,
da população contraiu o vírus e em sete dias este percentual cresceu para
. Supondo
o percentual de infectados e
o percentual de são, e que a taxa de propagação seja dada por:
, calcule: o tempo necessário para que o percentual de enfermos seja de
.Sugestões: Use frações parciais na integração e consulte o livro (Abunahman, 1990), página 40.