Calcule, utilizando frações parciais e mostrando cada passo da decomposição e integração, a seguinte integral
integral 7 x^2-13 x+13(x-2)(x^2-2 x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma fração usando frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para separar os termos e depois integrar cada parte.
integral 7 x^2-13 x+13(x-2)(x^2-2 x+3) , dx

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 7x^2 - 13x + 13(x-2)(x^2 - 2x + 3) = Ax - 2 + Bx + Cx^2 - 2x + 3 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de uma fração simples sobre e outra fração sobre . Então, assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar 7x^2 - 13x + 13 = A(x^2 - 2x + 3) + (Bx + C)(x - 2) , 7x^2 - 13x + 13 = A x^2 - 2A x + 3A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores comuns para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
7x^2 - 13x + 13 = (A + B)x^2 + (-2A - 2B + C)x + (3A - 2C)
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da equação 1:
A + B = 7 Rightarrow B = 7 - A
Agora, substituímos -2A - 2(7 - A) + C = -13 -2A -14 + 2A + C = -13 -14 + C = -13 C = -13 + 14 C = 1 na equação 2:
3A - 2(1) = 13 3A - 2 = 13 3A = 15 A = 5
Agora que temos B = 7 - 5 = 2 , substituímos e na equação 3:
E lembrando que :
Então, encontramos , e .

Passo 6

Agora que temos os valores de 7x^2 - 13x + 13(x-2)(x^2 - 2x + 3) = 5x - 2 + 2x + 1x^2 - 2x + 3 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. A integral original se torna:
integral 5x - 2 , dx + integral 2x + 1x^2 - 2x + 3 , dx
Primeiro, integramos 5 integral 1x - 2 , dx = 5 ln|x - 2| :

Passo 8

Agora, vamos integrar x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2 . Para simplificar, completamos o quadrado no denominador:
integral 2x + 1(x - 1)^2 + 2 , dx
Então, a integral fica:
integral 2u + 3u^2 + 2 , du
Vamos fazer uma substituição:
Seja , então , e .
Então, a integral se torna:

Passo 9

Vamos dividir a fração:
2u + 3u^2 + 2 = 2uu^2 + 2 + 3u^2 + 2
Agora, vamos integrar cada termo:
  1. integral dvv = ln|v| = ln(u^2 + 2)
Aqui, fazemos a substituição integral 3u^2 + 2 , du = 3raiz2 tan^-1(uraiz2) , então . A integral fica:
Aqui, reconhecemos a forma da integral que resulta em arcotangente:

Passo 10

Agora, juntando tudo:
integral 2u + 3u^2 + 2 , du = ln(u^2 + 2) + 3raiz2 tan^-1(uraiz2) + C
Substituindo ln((x - 1)^2 + 2) + 3raiz2 tan^-1(x - 1raiz2) + C :

Passo 11

Agora, reunindo todas as partes integradas:
integral 7x^2 - 13x + 13(x-2)(x^2 - 2x + 3) , dx = 5 ln|x - 2| + ln((x - 1)^2 + 2) + 3raiz2 tan^-1(x - 1raiz2) + C

Resposta

A integral é igual a
5 ln|x - 2| + ln((x - 1)^2 + 2) + 3raiz2 tan^-1(x - 1raiz2) + C
onde é a constante de integração.

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