Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral iterada dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integração sobre uma região no plano xy. Vamos precisar entender os limites de integração e, se for útil, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida com
variando de 0 a
e, para cada
,
varia de -1 até
.
Então, temos:
-
vai de 0 a - Para cada
, vai de -1 a
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração no plano xy:
-
varia de 0 a , então consideramos o intervalo vertical de 0 a . - Para cada
, vai de -1 até . A função varia entre -1 e 1 nesse intervalo de .
Então, a região é limitada por:
- A linha vertical
- A curva
- As linhas horizontais
e
Passo 4
Agora, vamos verificar se trocar a ordem de integração facilita o cálculo. Para isso, precisamos determinar os novos limites quando
é a primeira variável a ser integrada.
-
varia de -1 a 1 (já que varia de -1 a 1 quando vai de 0 a ). - Para cada
, varia de 0 até quando .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral com a nova ordem de integração:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada parte:
Resposta
A integral iterada vale
.