Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-1^cos y x sen y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral iterada dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integração sobre uma região no plano xy. Vamos precisar entender os limites de integração e, se for útil, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida com variando de 0 a e, para cada , varia de -1 até .
Então, temos:
  • vai de 0 a
  • Para cada , vai de -1 a

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração no plano xy:
  1. varia de 0 a , então consideramos o intervalo vertical de 0 a .
  2. Para cada , vai de -1 até . A função varia entre -1 e 1 nesse intervalo de .
Então, a região é limitada por:
  • A linha vertical
  • A curva
  • As linhas horizontais e

Passo 4

Agora, vamos verificar se trocar a ordem de integração facilita o cálculo. Para isso, precisamos determinar os novos limites quando integral-1^1 integral0^arccos x x cdot sen y , dy , dx é a primeira variável a ser integrada.
  • varia de -1 a 1 (já que varia de -1 a 1 quando vai de 0 a ).
  • Para cada , varia de 0 até quando .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral com a nova ordem de integração:
Primeiro, integramos em relação a integral0^arccos x sen y , dy = -cos y gr|0^arccos x = -cos(arccos x) + cos(0) = -x + 1 :
Então, a integral fica:
integral-1^1 x cdot (-x + 1) , dx = integral-1^1 (-x^2 + x) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral-1^1 -x^2 , dx + integral-1^1 x , dx
Calculando cada parte:

Resposta

A integral iterada vale .

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