A partir da resposta da questão 1 , resolva o PVI
(3y^2 - x^2) / y^5 * dy/dx + x / (2y^4) = 0
Sujeito a y(2) = 1.
Observação: a solução poderá ser dada implícita ou explicitamente. (15 pontos). Quem der a solução explícita bem explicada, incluindo o intervalo de validade da função (solução), ganha um bônus de 5 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) usando a equação diferencial dada e a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, especificamente aquelas que são homogêneas e que podem ser resolvidas por substituição. Precisaremos entender como fazer uma substituição para equações homogêneas e aplicar integrais para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação diferencial que nos foi dada:
Nosso objetivo é isolar para facilitar a resolução:

Passo 3

Agora, percebemos que a equação é homogênea porque os termos de e têm o mesmo grau. Isso significa que podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos usar , ou seja, . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e :
Isso nos permite integrar ambos os lados:

Passo 6

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Decompondo a fração:
Assim, a integral fica:

Passo 7

Resolvendo as integrais:
Podemos simplificar:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Simplificando mais, chegamos a uma relação implícita entre e :

Resposta

A solução implícita do PVI é:

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