Sujeito a .
Observação: a solução poderá ser dada implícita ou explicitamente. (15 pontos). Quem der a solução explícita bem explicada, incluindo o intervalo de validade da função (solução), ganha um bônus de 5 pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) usando a equação diferencial dada e a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, especificamente aquelas que são homogêneas e que podem ser resolvidas por substituição. Precisaremos entender como fazer uma substituição para equações homogêneas e aplicar integrais para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação diferencial que nos foi dada:
Nosso objetivo é isolar para facilitar a resolução:
Passo 3
Agora, percebemos que a equação é homogênea porque os termos de e têm o mesmo grau. Isso significa que podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos usar , ou seja, . Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis e :
Isso nos permite integrar ambos os lados:
Passo 6
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Decompondo a fração:
Assim, a integral fica:
Passo 7
Resolvendo as integrais:
Podemos simplificar:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Simplificando mais, chegamos a uma relação implícita entre e :