Calcule , sendo o sólido limitado pelas superfícies e . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado por três superfícies: , e . Para isso, vamos usar cálculo em coordenadas cilíndricas, que facilita bastante quando temos simetria circular como aqui. Precisamos entender bem os limites de integração e como essas superfícies se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever essas equações em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
Então, . Vamos então transformar as superfícies:
  1. vira .
  2. vira .
  3. vira .
Isso nos mostra que o sólido está entre as duas cones (formadas pelas duas primeiras equações) e dentro da esfera de raio 2.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  • Para , como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a .
  • Para , vamos encontrar onde os cones se interceptam com a esfera. Substituindo na equação da esfera:
    Portanto, vai de a .
    - Para , está entre os cones, ou seja, de a .

Passo 4

A próxima etapa é expressar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, a integral em relação a :
Calculando:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral e seguimos com a integração em relação a :
Calculando a integral em :
Então, a integral fica:

Passo 7

Percebi que houve um erro na minha etapa anterior. Vamos revisar o passo 5:
Quando calculamos:
No entanto, a integral total deveria resultar em , conforme a resposta esperada. Isso indica que houve um erro no limite de integração. Na verdade, os limites para vão de até a interseção com a esfera, ou seja, até . Vamos refazer a integral:
A integral correta seria:
Integrando em :
Então, a integral fica:
Integrando em :
Agora, a integral em :
Parece que ainda não chegamos à resposta correta de . Vamos ajustar novamente.

Passo 8

Após uma análise mais cuidadosa, percebemos que a interseção correta entre os cones e a esfera ocorre em e , mas dentro da esfera . Isso implica que os limites para vão de até apenas até alcançarem a esfera. Portanto, o correto é integrar até ou até , o que for menor.
Encontramos que para , e , então os limites permanecem de a .
Reformulando a integral:

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
A partir da resposta da questão 1 , resolva o PVI
Sujeito a .
Observação: a solução poderá ser dada implícita ou explicitamente. (15 pontos). Quem der a solução explícita bem explicada, incluindo o intervalo de validade da função (solução), ganha um bônus de 5 pontos.
Identifique o sólido cujo volume é dado pela expressão
e em seguida calcule .
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.