Resolva as integrais duplas:
integral0^1 integralarcsin (x)^pi2(e^cos y+1) d y d x. Resp.: e.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para resolver uma integral dupla:
integral0^1 integralarcsin (x)^pi2(e^cos y+1) dy , dx
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas, onde precisamos integrar uma função em duas variáveis sobre uma certa região. Para resolver, vamos precisar trocar a ordem das integrais e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Isso define a área sobre a qual vamos integrar a função .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem da integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois a , vamos integrar primeiro em relação a e depois a . Mas, para isso, precisamos ajustar os limites de integração.

Passo 4

Quando trocamos a ordem, vai variar de 0 a . Para cada valor de , varia de 0 até . Isso porque implica que .

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração trocada:
integral0^pi2 integral0^sin y (e^cos y + 1) dx , dy

Passo 6

Observe que a expressão integral0^sin y (e^cos y + 1) dx = (e^cos y + 1) cdot sin y não depende de , então podemos integrar em relação a facilmente:

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
integral0^pi2 (e^cos y + 1) sin y , dy

Passo 8

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi2 e^cos y sin y , dy + integral0^pi2 sin y , dy

Passo 9

Começamos resolvendo a primeira integral usando substituição. Seja integral1^0 -e^u , du = integral0^1 e^u , du = e^u |0^1 = e - 1 , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Passo 10

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral0^pi2 sin y , dy = -cos y |0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1

Resposta

Somando os resultados das duas integrais, temos:
(e - 1) + 1 = e
Portanto, a resposta final é .

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