Resolva as integrais duplas:
. Resp.: .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para resolver uma integral dupla:
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas, onde precisamos integrar uma função em duas variáveis sobre uma certa região. Para resolver, vamos precisar trocar a ordem das integrais e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Isso define a área sobre a qual vamos integrar a função .

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem da integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois a , vamos integrar primeiro em relação a e depois a . Mas, para isso, precisamos ajustar os limites de integração.

Passo 4

Quando trocamos a ordem, vai variar de 0 a . Para cada valor de , varia de 0 até . Isso porque implica que .

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração trocada:

Passo 6

Observe que a expressão não depende de , então podemos integrar em relação a facilmente:

Passo 7

Agora, nossa integral fica:

Passo 8

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 9

Começamos resolvendo a primeira integral usando substituição. Seja , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:

Passo 10

Agora, resolvemos a segunda integral:

Resposta

Somando os resultados das duas integrais, temos:
Portanto, a resposta final é .

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico da função no ponto
( Calcule a derivada das funções abaixo:
©
A partir da resposta da questão 1 , resolva o PVI
Sujeito a .
Observação: a solução poderá ser dada implícita ou explicitamente. (15 pontos). Quem der a solução explícita bem explicada, incluindo o intervalo de validade da função (solução), ganha um bônus de 5 pontos.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.