Vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para resolver uma integral dupla:
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas, onde precisamos integrar uma função em duas variáveis sobre uma certa região. Para resolver, vamos precisar trocar a ordem das integrais e simplificar a expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até . Isso define a área sobre a qual vamos integrar a função .
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem da integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois a , vamos integrar primeiro em relação a e depois a . Mas, para isso, precisamos ajustar os limites de integração.
Passo 4
Quando trocamos a ordem, vai variar de 0 a . Para cada valor de , varia de 0 até . Isso porque implica que .
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração trocada:
Passo 6
Observe que a expressão não depende de , então podemos integrar em relação a facilmente:
Passo 7
Agora, nossa integral fica:
Passo 8
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 9
Começamos resolvendo a primeira integral usando substituição. Seja , então . Quando , ; quando , .