Identifique o sólido
cujo volume é dado pela expressão
e em seguida calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos identificar o sólido
cujo volume é dado pela integral dupla
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para calcular volumes de sólidos em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para identificar o sólido
, vamos analisar os limites de integração. O
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 a
. Essa descrição corresponde a uma região no primeiro quadrante do plano
que está abaixo da semicircunferência de raio 1 centrada na origem.
Passo 3
O integrando
representa a altura do sólido
em cada ponto
dessa região. Portanto,
é um sólido cuja base é a região descrita e cuja altura em cada ponto é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume
avaliando a integral dupla. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Em seguida, integramos o resultado em relação a
:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Seja
, então
, e
.
Quando
,
; quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Expandimos a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido
é
.