Identifique o sólido Omega cujo volume é dado pela expressão
vol(Omega)=integral0^1 integral0^raiz1-x^2(1-x) d x d y
e em seguida calcule vol(Omega).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos identificar o sólido vol(Omega)=integral0^1 integral0^raiz1-x^2(1-x) , dy , dx cujo volume é dado pela integral dupla
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para calcular volumes de sólidos em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para identificar o sólido , vamos analisar os limites de integração. O varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a . Essa descrição corresponde a uma região no primeiro quadrante do plano que está abaixo da semicircunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 3

O integrando representa a altura do sólido em cada ponto dessa região. Portanto, é um sólido cuja base é a região descrita e cuja altura em cada ponto é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume integral0^raiz1-x^2 (1 -x) , dy = (1 -x) cdot raiz1 -x^2 avaliando a integral dupla. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Em seguida, integramos o resultado em relação a vol(Omega) = integral0^1 (1 -x) raiz1 -x^2 , dx :

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Seja vol(Omega) = integralpi2^0 (1 - costheta) sintheta , (-dtheta) = integral0^pi2 (1 - costheta) sintheta , dtheta , então , e .
Quando , ; quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Expandimos a integral:
integral0^pi2 sintheta - sintheta costheta , dtheta
Integrando termo a termo:
integral sintheta , dtheta = -costheta
integral sintheta costheta , dtheta = 12 sin^2theta

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
vol(Omega) = [-costheta]0^pi2 - [12 sin^2theta]0^pi2 = ( -0 +1 ) - ( 12(1) -0 ) = 1 - 12 = 12

Resposta

O volume do sólido é .

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