Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^2 integral0^e^x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender a região onde vamos integrar e, se for útil, podemos trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O vai de 0 a 2, e para cada valor de , o vai de 0 até . Imagina um gráfico onde o eixo horizontal é o e o vertical é o . A curva começa em quando e cresce rapidamente até quando . Então, a região de integração é a área abaixo dessa curva, entre e .

Passo 3

Vamos calcular a integral na ordem dada, primeiro em integral0^2 integral0^e^x dy, dx e depois em integral0^e^x dy = y |0^e^x = e^x - 0 = e^x :
integral0^2 e^x dx
Integrando em integral e^x dx = e^x + C primeiro:
e^x |0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1
Agora, a integral fica:
Integrando em :
Aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

O valor da integral é .

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