Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular a área onde x varia de 1 a 2 e y varia de 0 a 2. O conteúdo está relacionado a integrais iteradas, onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e entender a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral interna, que é em relação a x:
Aqui, tratamos y como uma constante porque estamos integrando em relação a x.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
  • A integral de em relação a x é:
  • A integral de em relação a x é:

Passo 4

Agora, somamos os resultados das integrais:
Essa é a expressão resultante da integral interna.

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, de 0 a 2:

Passo 6

Integramos termo a termo novamente:
  • A integral de em relação a y é:
  • A integral de em relação a y é:
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Avalie essa expressão de y = 0 a y = 2:
Calculando:

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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