Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^2 integral1^2(2 x y-y^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular a área onde x varia de 1 a 2 e y varia de 0 a 2. O conteúdo está relacionado a integrais iteradas, onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e entender a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral interna, que é em relação a x:
integral1^2 (2xy - y^3) , dx
Aqui, tratamos y como uma constante porque estamos integrando em relação a x.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
  • A integral de 2y integral1^2 x , dx = 2y [ x^22 ]1^2 = 2y ( 42 - 12 ) = 2y ( 32 ) = 3y em relação a x é:
-y^3 integral1^2 dx = -y^3 [x]1^2 = -y^3 (2 - 1) = -y^3
  • A integral de em relação a x é:

Passo 4

Agora, somamos os resultados das integrais:
3y - y^3
Essa é a expressão resultante da integral interna.

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, de 0 a 2:
integral0^2 (3y - y^3) , dy

Passo 6

Integramos termo a termo novamente:
  • A integral de 32 y^2 em relação a y é:
-y^44
  • A integral de 32 y^2 - y^44 em relação a y é:
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Avalie essa expressão de y = 0 a y = 2:
( 32 (2)^2 - (2)^44 ) - ( 32 (0)^2 - (0)^44 )
Calculando:
( 32 times 4 - 164 ) - (0 - 0) = ( 6 - 4 ) = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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