Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular a área onde x varia de 1 a 2 e y varia de 0 a 2. O conteúdo está relacionado a integrais iteradas, onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e entender a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral interna, que é em relação a x:
Aqui, tratamos y como uma constante porque estamos integrando em relação a x.
Passo 3
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de
em relação a x é:
- A integral de
em relação a x é:
Passo 4
Agora, somamos os resultados das integrais:
Essa é a expressão resultante da integral interna.
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, de 0 a 2:
Passo 6
Integramos termo a termo novamente:
- A integral de
em relação a y é:
- A integral de
em relação a y é:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Avalie essa expressão de y = 0 a y = 2:
Calculando:
Resposta
O valor da integral dupla é 2.