Determine a derivada direcional da função no ponto , na direção do ponto , para

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto . Isso está relacionado ao cálculo multivariável, especificamente ao conceito de derivada direcional, que nos mostra como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor direção entre os pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor direção. Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas de de :

Passo 3

Agora, precisamos transformar esse vetor direção em um vetor unitário, pois a derivada direcional usa a direção como unidade. Para isso, calculamos o comprimento (magnitude) do vetor : Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e : Calculando as derivadas parciais: Portanto, o gradiente é:

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário na direção de :

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Dada a equação diferencial de primeira ordem Verifique matematicamente, dentre os 4 métodos estudados, qual(is) dele(s) pode(m) ser utilizado(s) para resolvê-la. (10 pontos)
Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10). Dê exemplo de sequência que tende a assim que .