Determine a derivada direcional da função no ponto
, na direção do ponto
, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do ponto
. Isso está relacionado ao cálculo multivariável, especificamente ao conceito de derivada direcional, que nos mostra como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor direção entre os pontos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor direção. Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas de
de
:
Passo 3
Agora, precisamos transformar esse vetor direção em um vetor unitário, pois a derivada direcional usa a direção como unidade. Para isso, calculamos o comprimento (magnitude) do vetor
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário na direção de
:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção de
é
.