Determine a derivada direcional da função no ponto , na direção do ponto , para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto . Isso está relacionado ao cálculo multivariável, especificamente ao conceito de derivada direcional, que nos mostra como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor direção entre os pontos e .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor direção. Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas de de :
Passo 3
Agora, precisamos transformar esse vetor direção em um vetor unitário, pois a derivada direcional usa a direção como unidade. Para isso, calculamos o comprimento (magnitude) do vetor :
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário na direção de :
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção de é .
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Dada a equação diferencial de primeira ordem
Verifique matematicamente, dentre os 4 métodos estudados, qual(is) dele(s) pode(m) ser utilizado(s) para resolvê-la. (10 pontos)
Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que tende a assim que .