Para quais valores de a sequência converge?
Para quais valores de a sequência converge?

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas sequências aqui hoje! Primeiro, vamos entender quais valores de fazem a sequência convergir. Em seguida, vamos descobrir para quais valores de a sequência converge. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de exponenciais e raízes.

Passo 2

Vamos começar com a primeira sequência: . Queremos saber para quais valores de essa sequência tem um limite finito quando tende ao infinito.

Passo 3

Primeiro, observamos que é uma função exponencial. Se , tende a 0 conforme aumenta. Mas temos um multiplicando , então precisamos ver se também tende a 0.

Passo 4

Para analisar o limite , podemos usar a regra de L’Hôpital após reescrever a expressão. Vamos considerar a função contínua e reescrever como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito.

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador em relação a , temos:
Aplicando a regra:

Passo 6

Agora, se , tende a 0, então o limite final será 0. Portanto, para , a sequência converge para 0.

Passo 7

Se , então não tende a 0 (pelo contrário, fica constante se ou oscila se ), e multiplicando por , a sequência não converge.

Passo 8

Se , cresce exponencialmente, e mesmo multiplicado por , a sequência tende ao infinito. Portanto, para , a sequência não converge.

Passo 9

Agora, vamos para a segunda sequência: , que é equivalente a . Queremos saber para quais valores de essa sequência converge.

Passo 10

Sabemos que para qualquer . Isso porque, conforme aumenta, a raiz n-ésima de se aproxima de 1.

Passo 11

Se , então para todo , então a sequência converge para 0.

Passo 12

Se , a expressão não é real para par, e para ímpar, ela alterna sinais. Portanto, a sequência não converge para no conjunto dos números reais.

Resposta

A sequência converge para 0 quando . Já a sequência converge para 1 se e para 0 se . Para , a sequência não converge no conjunto dos números reais.

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