Para quais valores de
a sequência
converge?
Para quais valores de
a sequência
converge?
Para quais valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver duas sequências aqui hoje! Primeiro, vamos entender quais valores de
fazem a sequência
convergir. Em seguida, vamos descobrir para quais valores de
a sequência
converge. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de exponenciais e raízes.
Passo 2
Vamos começar com a primeira sequência:
. Queremos saber para quais valores de
essa sequência tem um limite finito quando
tende ao infinito.
Passo 3
Primeiro, observamos que
é uma função exponencial. Se
,
tende a 0 conforme
aumenta. Mas temos um
multiplicando
, então precisamos ver se
também tende a 0.
Passo 4
Para analisar o limite
, podemos usar a regra de L’Hôpital após reescrever a expressão. Vamos considerar a função contínua
e reescrever como:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito.
Passo 5
Derivando o numerador e o denominador em relação a
, temos:
Aplicando a regra:
Passo 6
Agora, se
,
tende a 0, então o limite final será 0. Portanto, para
, a sequência
converge para 0.
Passo 7
Se
, então
não tende a 0 (pelo contrário, fica constante se
ou oscila se
), e multiplicando por
, a sequência não converge.
Passo 8
Se
,
cresce exponencialmente, e mesmo multiplicado por
, a sequência tende ao infinito. Portanto, para
, a sequência
não converge.
Passo 9
Agora, vamos para a segunda sequência:
, que é equivalente a
. Queremos saber para quais valores de
essa sequência converge.
Passo 10
Sabemos que
para qualquer
. Isso porque, conforme
aumenta, a raiz n-ésima de
se aproxima de 1.
Passo 11
Se
, então
para todo
, então a sequência converge para 0.
Passo 12
Se
, a expressão
não é real para
par, e para
ímpar, ela alterna sinais. Portanto, a sequência não converge para
no conjunto dos números reais.
Resposta
A sequência
converge para 0 quando
. Já a sequência
converge para 1 se
e para 0 se
. Para
, a sequência não converge no conjunto dos números reais.
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