Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^raiz2 / 2 integral0^raiz1-y^2 x y d x d y

Passo 1

Vamos resolver uma integral dupla: . Esse tipo de integração é parte do cálculo multivariável, onde calculamos o volume sob uma superfície em uma determinada região. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e possivelmente mudar a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites de vão de 0 até , e para cada , varia de 0 até . Isso descreve uma parte do primeiro quadrante de um círculo de raio 1, centrado na origem.

Passo 3

Vamos esboçar a região: no plano , temos a curva , que é a metade direita do círculo . Como vai de 0 a , estamos olhando para a parte inferior dessa curva, formando uma fatia do círculo.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos verificar se é conveniente inverter a ordem de integração. Mantendo como a primeira variável, teríamos limites mais complicados. Portanto, vamos inverter a ordem para integrar primeiro em relação a .

Passo 5

Ao inverter, para cada integral0^raiz22 integral0^raiz1 - x^2 xy , dy , dx , varia de 0 até . Além disso, observar que vai de 0 até . Assim, a integral reescrita é:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^raiz1 - x^2 xy , dy = x integral0^raiz1 - x^2 y , dy = x [ y^22 ]0^raiz1 - x^2 = x cdot (1 - x^2)2 :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^raiz22 x (1 - x^2)2 , dx = 12 integral0^raiz22 (x - x^3) , dx

Passo 8

Calculamos essa integral:
12 [ x^22 - x^44 ]0^raiz22 = 12 ( (raiz22)^22 - (raiz22)^44 )

Passo 9

Simplificando os cálculos:
(raiz22)^2 = 24 = 12
(raiz22)^4 = (12)^2 = 14
Então:
12 ( 122 - 144 ) = 12 ( 14 - 116 ) = 12 cdot 316 = 332

Resposta

O valor da integral dupla é .

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