Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Vamos resolver uma integral dupla: . Esse tipo de integração é parte do cálculo multivariável, onde calculamos o volume sob uma superfície em uma determinada região. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e possivelmente mudar a ordem de integração para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites de vão de 0 até , e para cada , varia de 0 até . Isso descreve uma parte do primeiro quadrante de um círculo de raio 1, centrado na origem.
Passo 3
Vamos esboçar a região: no plano , temos a curva , que é a metade direita do círculo . Como vai de 0 a , estamos olhando para a parte inferior dessa curva, formando uma fatia do círculo.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos verificar se é conveniente inverter a ordem de integração. Mantendo como a primeira variável, teríamos limites mais complicados. Portanto, vamos inverter a ordem para integrar primeiro em relação a .
Passo 5
Ao inverter, para cada , varia de 0 até . Além disso, observar que vai de 0 até . Assim, a integral reescrita é: