Dada a equação diferencial de primeira ordem
(3y^2 - x^2) / y^5 * dy/dx + x / (2y^4) = 0
Verifique matematicamente, dentre os 4 métodos estudados, qual(is) dele(s) pode(m) ser utilizado(s) para resolvê-la. (10 pontos)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é essa aqui:
(3y^2 - x^2) / y^5 * dy/dx + x / (2y^4) = 0
O objetivo é descobrir qual, dentre os 4 métodos que estudamos, a gente pode usar para resolver essa equação. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre cada método e ver qual deles se encaixa melhor nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os 4 métodos que a gente estudou:
  1. Separação de Variáveis: Usado quando conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.
  2. Equação Linear: Quando a equação pode ser escrita na forma .
  3. Equação Exata: Se existir uma função que satisfaz certas condições de derivadas parciais, a equação é exata.
  4. Homogênea: Quando os termos da equação têm o mesmo grau quando e são escalados.

Passo 3

Vamos começar verificando se a equação é separável. Para isso, precisamos ver se conseguimos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. Vamos manipular a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Parece complicado separar as variáveis dessa forma, então provavelmente não é separável.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a equação é linear. Precisamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
Vamos isolar :
Perceba que o coeficiente de envolve também, o que não corresponde à forma linear onde depende apenas de . Portanto, essa equação não é linear.

Passo 5

Vamos testar agora se a equação é exata. Para que uma equação seja exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Se a equação estiver na forma , então .
Vamos reescrever a equação:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 6

Vamos verificar se a equação é homogênea. Para isso, todos os termos devem ter o mesmo grau quando consideramos que e têm o mesmo grau.
Analisando os termos:
  • : O numerador tem grau 2 (já que e têm grau 2), e o denominador tem grau 5, então o termo completo tem grau .
  • : O grau é .
Como todos os termos têm o mesmo grau, a equação é homogênea.

Resposta

A equação diferencial dada é exata e homogênea. Portanto, podemos utilizar os métodos de Equação Exata e Homogênea para resolvê-la.

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