Dada a equação diferencial de primeira ordem
Verifique matematicamente, dentre os 4 métodos estudados, qual(is) dele(s) pode(m) ser utilizado(s) para resolvê-la. (10 pontos)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é essa aqui:
O objetivo é descobrir qual, dentre os 4 métodos que estudamos, a gente pode usar para resolver essa equação. Para isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre cada método e ver qual deles se encaixa melhor nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os 4 métodos que a gente estudou:
- Separação de Variáveis: Usado quando conseguimos separar as variáveis
e em lados opostos da equação. - Equação Linear: Quando a equação pode ser escrita na forma
. - Equação Exata: Se existir uma função que satisfaz certas condições de derivadas parciais, a equação é exata.
- Homogênea: Quando os termos da equação têm o mesmo grau quando
e são escalados.
Passo 3
Vamos começar verificando se a equação é separável. Para isso, precisamos ver se conseguimos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. Vamos manipular a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Parece complicado separar as variáveis dessa forma, então provavelmente não é separável.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a equação é linear. Precisamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
Vamos isolar
:
Perceba que o coeficiente de
envolve
também, o que não corresponde à forma linear onde
depende apenas de
. Portanto, essa equação não é linear.
Passo 5
Vamos testar agora se a equação é exata. Para que uma equação seja exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Se a equação estiver na forma
, então
.
Vamos reescrever a equação:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 6
Vamos verificar se a equação é homogênea. Para isso, todos os termos devem ter o mesmo grau quando consideramos que
e
têm o mesmo grau.
Analisando os termos:
-
: O numerador tem grau 2 (já que e têm grau 2), e o denominador tem grau 5, então o termo completo tem grau . -
: O grau é .
Como todos os termos têm o mesmo grau, a equação é homogênea.
Resposta
A equação diferencial dada é exata e homogênea. Portanto, podemos utilizar os métodos de Equação Exata e Homogênea para resolvê-la.