Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira.
  • A integral integral0^2 pi integral0^2 integralr^2 d z d r d theta representa o volume limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=2. -
  • A integral integral0^2 pi integral0^pi4 integral0^raiz2 d rho d phi d theta representa o volume limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pela esfera x^2+y^2+z^2=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se duas integrais representam, de fato, certos volumes delimitados por superfícies específicas. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para entender isso. Precisaremos conhecer coordenadas cilíndricas e esféricas, além de entender como essas integrais definem volumes no espaço.

Passo 2

Primeira afirmação:
A integral dada é integral0^2 pi integral0^2 integralr^2 dz, dr, dtheta. Vamos analisar em coordenadas cilíndricas, onde:
  • r varia de 0 a 2,
  • theta varia de 0 a 2pi (completando a volta no plano),
  • z varia de r (a altura do cone z = raizx^2 + y^2) até 2 (o plano z=2).
Isso significa que estamos somando todas as pequenas fatias de volume que começam na superfície do cone e se estendem até o plano horizontal no topo.

Passo 3

Conclusão da primeira afirmação:
Sim, a primeira integral realmente representa o volume limitado pelo cone z = raizx^2 + y^2 e pelo plano z = 2. A integral está configurada corretamente para cobrir essa região.

Passo 4

Segunda afirmação:
A integral é integral0^2 pi integral0^pi4 integral0^raiz2 rho^2 sinphi, drho, dphi, dtheta. Estamos usando coordenadas esféricas aqui, onde:
  • rho (raio) varia de 0 a raiz2,
  • phi (ângulo polar) varia de 0 a pi4,
  • theta varia de 0 a 2pi.
O cone z = raizx^2 + y^2, em coordenadas esféricas, corresponde a um ângulo polar de phi = pi4. A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 tem raio raiz2. Portanto, a integral está somando todo o volume dentro da esfera e dentro do cone.

Passo 5

Conclusão da segunda afirmação:
Sim, a segunda integral também representa corretamente o volume limitado pelo cone z = raizx^2 + y^2 e pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2. A configuração dos limites de integração está adequada para descrever essa região.

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras.

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