Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira.
- A integral
representa o volume limitado pelo cone
e pelo plano
. -
- A integral
representa o volume limitado pelo cone
e pela esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se duas integrais representam, de fato, certos volumes delimitados por superfícies específicas. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para entender isso. Precisaremos conhecer coordenadas cilíndricas e esféricas, além de entender como essas integrais definem volumes no espaço.
Passo 2
Primeira afirmação:
A integral dada é
. Vamos analisar em coordenadas cilíndricas, onde:
-
varia de a , -
varia de a (completando a volta no plano), -
varia de (a altura do cone ) até (o plano ).
Isso significa que estamos somando todas as pequenas fatias de volume que começam na superfície do cone e se estendem até o plano horizontal no topo.
Passo 3
Conclusão da primeira afirmação:
Sim, a primeira integral realmente representa o volume limitado pelo cone
e pelo plano
. A integral está configurada corretamente para cobrir essa região.
Passo 4
Segunda afirmação:
A integral é
. Estamos usando coordenadas esféricas aqui, onde:
-
(raio) varia de a , -
(ângulo polar) varia de a , -
varia de a .
O cone
, em coordenadas esféricas, corresponde a um ângulo polar de
. A esfera
tem raio
. Portanto, a integral está somando todo o volume dentro da esfera e dentro do cone.
Passo 5
Conclusão da segunda afirmação:
Sim, a segunda integral também representa corretamente o volume limitado pelo cone
e pela esfera
. A configuração dos limites de integração está adequada para descrever essa região.
Resposta
Ambas as afirmações são verdadeiras.