Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que tende a assim que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para encontrar o limite da sequência . Além disso, também precisamos dar um exemplo de uma sequência que tende a quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites de sequências e propriedades de crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência dada: . Ela é uma sequência de termos aninhados de raízes quadradas de 2. Para facilitar, vamos definir como o n-ésimo termo dessa sequência.

Passo 3

Queremos encontrar o limite dessa sequência quando tende a infinito, ou seja, . Uma abordagem comum para esse tipo de sequência é assumir que, no limite, se aproxima de um valor . Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Em seguida, reorganizamos a equação:

Passo 6

Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 7

Agora, precisamos determinar qual dessas soluções faz sentido no contexto da nossa sequência. Como todos os termos da sequência são positivos e maiores que 1, a solução não se aplica. Portanto, o limite é:

Passo 8

Agora, para a segunda parte do exercício, precisamos dar um exemplo de uma sequência que tende a quando tende a infinito. Um exemplo simples é a sequência .

Passo 9

Vamos analisar o comportamento dessa sequência:

Resposta

O limite da sequência é . Um exemplo de sequência que tende a conforme é .

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