Obtenha o limite da sequência
. Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que tende a
assim que
.
Dê exemplo de sequência que tende a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para encontrar o limite da sequência
. Além disso, também precisamos dar um exemplo de uma sequência que tende a
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites de sequências e propriedades de crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência dada:
. Ela é uma sequência de termos aninhados de raízes quadradas de 2. Para facilitar, vamos definir
como o n-ésimo termo dessa sequência.
Passo 3
Queremos encontrar o limite dessa sequência quando
tende a infinito, ou seja,
. Uma abordagem comum para esse tipo de sequência é assumir que, no limite,
se aproxima de um valor
. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Em seguida, reorganizamos a equação:
Passo 6
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Passo 7
Agora, precisamos determinar qual dessas soluções faz sentido no contexto da nossa sequência. Como todos os termos da sequência são positivos e maiores que 1, a solução
não se aplica. Portanto, o limite é:
Passo 8
Agora, para a segunda parte do exercício, precisamos dar um exemplo de uma sequência que tende a
quando
tende a infinito. Um exemplo simples é a sequência
.
Passo 9
Vamos analisar o comportamento dessa sequência:
Resposta
O limite da sequência
é
. Um exemplo de sequência que tende a
conforme
é
.
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