Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y) = (x, 3y) ao longo da ircunferência r(t) = (cos(t), sen(t)), t in [0, 2*pi].

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar o fluxo do campo vetorial ao longo da circunferência dada pela parametrização para variando de a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que nos ajuda a calcular o fluxo de um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva pela qual estamos calculando o fluxo. A parametrização descreve uma circunferência de raio 1 centrada na origem. O parâmetro varia de a , cobrindo toda a circunferência uma vez.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto. Então:

Passo 4

Em seguida, avaliamos o campo vetorial na curva parametrizada. Substituindo e em , temos:

Passo 5

O fluxo é calculado pela integral de linha do produto escalar de com . Então, primeiro calculamos esse produto escalar:

Passo 6

Agora, configuramos a integral para calcular o fluxo:

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples ou reconhecer que é uma derivada de . Assim:

Resposta

O fluxo do campo vetorial ao longo da circunferência é igual a .

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