Encontre o fluxo do campo vetorial
ao longo da ircunferência
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar o fluxo do campo vetorial
ao longo da circunferência dada pela parametrização para
variando de
a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que nos ajuda a calcular o fluxo de um campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva pela qual estamos calculando o fluxo. A parametrização descreve uma circunferência de raio 1 centrada na origem. O parâmetro
varia de
a
, cobrindo toda a circunferência uma vez.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto. Então:
Passo 4
Em seguida, avaliamos o campo vetorial
na curva parametrizada. Substituindo
e em
, temos:
Passo 5
O fluxo é calculado pela integral de linha do produto escalar de
com
. Então, primeiro calculamos esse produto escalar:
Passo 6
Agora, configuramos a integral para calcular o fluxo:
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples ou reconhecer que é uma derivada de . Assim:
Resposta
O fluxo do campo vetorial ao longo da circunferência é igual a
.
Exercícios relacionados
Verifique se o campo vetorial
é onservativo. Caso positivo, encontre a função potencial para
.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio
, sendo a densidade superficial no ponto
proporcional à distância do ponto ao centro do círculo.
Calcule,
, onde
é o conjunto de todos
tais que
,
e
.