Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^1 integralx^2^x exp (y / x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e calcularmos a integral iterada . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender como a região de integração está definida e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é de até . Para cada valor de nesse intervalo, varia de até . Isso define uma região no plano onde e .

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração:
  • A curva é uma parábola que passa pela origem e abre para cima.
  • A linha é uma reta que também passa pela origem e tem inclinação 45°.
    A interseção dessas duas curvas ocorre quando , ou seja, e . Portanto, a região de integração está entre e , e entre a parábola e a reta.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral iterada. Primeiro, integramos com relação a integralx^2^x exp(yx) , dy mantendo constante:
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja , então ou .

Passo 5

Alterando os limites de integração para integralx^1 e^u cdot x , du = x integralx^1 e^u , du :
  • Quando , .
  • Quando , .
    Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando x [ e^u ]x^1 = x ( e^1 - e^x ) = x e - x e^x em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 ( x e - x e^x ) , dx = e integral0^1 x , dx - integral0^1 x e^x , dx

Passo 8

Calculamos cada integral separadamente. Primeiro:
e integral0^1 x , dx = e [ x^22 ]0^1 = e ( 12 - 0 ) = e2
Segundo, para uv - integral v , du = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C , usamos integração por partes:
  • (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 1

  • Então:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Juntando tudo:
e2 - 1

Resposta

O valor da integral é .

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