Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e calcularmos a integral iterada
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender como a região de integração está definida e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é de
até
. Para cada valor de
nesse intervalo,
varia de
até
. Isso define uma região no plano
onde
e
.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração:
- A curva
é uma parábola que passa pela origem e abre para cima. - A linha
é uma reta que também passa pela origem e tem inclinação 45°.
A interseção dessas duas curvas ocorre quando, ou seja, e . Portanto, a região de integração está entre e , e entre a parábola e a reta.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral iterada. Primeiro, integramos com relação a
mantendo
constante:
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja
, então
ou
.
Passo 5
Alterando os limites de integração para
:
- Quando
, . - Quando
, .
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 8
Calculamos cada integral separadamente. Primeiro:
Segundo, para
, usamos integração por partes:
-
-
Então:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 9
Juntando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Calcule a integral tripla
, onde
é o tetraedro com vértices
,
e
.
Calcule a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.