Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e calcularmos a integral iterada . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender como a região de integração está definida e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é de até . Para cada valor de nesse intervalo, varia de até . Isso define uma região no plano onde e .

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração:
  • A curva é uma parábola que passa pela origem e abre para cima.
  • A linha é uma reta que também passa pela origem e tem inclinação 45°.
    A interseção dessas duas curvas ocorre quando , ou seja, e . Portanto, a região de integração está entre e , e entre a parábola e a reta.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral iterada. Primeiro, integramos com relação a mantendo constante:
Para facilitar, fazemos uma substituição: seja , então ou .

Passo 5

Alterando os limites de integração para :
  • Quando , .
  • Quando , .
    Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 8

Calculamos cada integral separadamente. Primeiro:
Segundo, para , usamos integração por partes:

  • Então:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Juntando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Calcule a integral tripla , onde é o tetraedro com vértices , e .
Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.