Calcule a integral tripla integral tripla(x+y+z) d V, onde E é o sólido limitado pelo cilindro x^2 +y^2=1 e pelos planos z=0 e z=3.

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral tripla (x + y + z) , dV, onde o sólido E é limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e pelos planos z = 0 e z = 3. Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, pois elas simplificam a descrição do cilindro e facilitam o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz
Isso nos ajuda a reescrever a integral em coordenadas mais adequadas para a região E.

Passo 3

Vamos expressar a função que vamos integrar na nova base de coordenadas:
x + y + z = r cos theta + r sin theta + z
Então, a integral fica:
integral tripla (r cos theta + r sin theta + z) , r , dr , dtheta , dz

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r, theta e z:
  • r varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • theta varia de 0 a 2pi (para cobrir todo o círculo).
  • z varia de 0 a 3 (os planos que limitam o cilindro).

Passo 5

Substituindo os limites na integral, temos:
integral0^2pi integral0^1 integral0^3 ( r cos theta + r sin theta + z ) r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral0^3 ( r cos theta + r sin theta + z ) , dz = [ r cos theta z + r sin theta z + 12 z^2 ]0^3
Calculando os limites:
3r cos theta + 3r sin theta + 92

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 ( 3r cos theta + 3r sin theta + 92 ) r , dr , dtheta
Distribuindo o r:
integral0^2pi integral0^1 ( 3r^2 cos theta + 3r^2 sin theta + 92 r ) , dr , dtheta

Passo 8

Vamos integrar em relação a r:
integral0^1 3r^2 cos theta , dr = 3 cos theta [ r^33 ]0^1 = cos theta
integral0^1 3r^2 sin theta , dr = 3 sin theta [ r^33 ]0^1 = sin theta
integral0^1 92 r , dr = 92 [ r^22 ]0^1 = 94
Então, a integral se torna:
integral0^2pi ( cos theta + sin theta + 94 ) , dtheta

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
integral0^2pi sin theta , dtheta = 0
integral0^2pi 94 , dtheta = 94 times 2pi = 9pi2

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é 9pi2.

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