Calcule a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla
, onde o sólido
é limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, pois elas simplificam a descrição do cilindro e facilitam o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Isso nos ajuda a reescrever a integral em coordenadas mais adequadas para a região
.
Passo 3
Vamos expressar a função que vamos integrar na nova base de coordenadas:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a (raio do cilindro). -
varia de a (para cobrir todo o círculo). -
varia de a (os planos que limitam o cilindro).
Passo 5
Substituindo os limites na integral, temos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Calculando os limites:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Distribuindo o
:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Resolva as seguintes equações: