Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla , onde o sólido é limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, pois elas simplificam a descrição do cilindro e facilitam o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Isso nos ajuda a reescrever a integral em coordenadas mais adequadas para a região .

Passo 3

Vamos expressar a função que vamos integrar na nova base de coordenadas:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a (raio do cilindro).
  • varia de a (para cobrir todo o círculo).
  • varia de a (os planos que limitam o cilindro).

Passo 5

Substituindo os limites na integral, temos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Calculando os limites:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Distribuindo o :

Passo 8

Vamos integrar em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Resolva as seguintes equações: