Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla dada por:
O objetivo é esboçar a região de integração e calcular essa integral iterada. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança da ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 4. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Vamos esboçar esses limites no plano
:
- A função
descreve uma parte da parábola rearranjada para . - A função
é uma reta que passa por quando e desce com inclinação .
Passo 3
Para facilitar, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Para isso, precisamos encontrar os novos limites:
-
varia de onde a reta e a parábola se intersectam.
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas curvas:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Fatorando:
Então,
ou
.
Isso significa que as curvas se intersectam nos pontos onde
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
e
após inverter a ordem:
-
varia de a : isso porque quando , e quando , . - Para um valor fixo de
, varia de 0 até (a equação da parábola rearranjada).
Então, a integral invertida fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Aqui, tratamos
como constante, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Então:
Passo 8
Agora, avaliamos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Portanto:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Resolva as seguintes equações:
Resolva as seguintes equações: