Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla dada por:
O objetivo é esboçar a região de integração e calcular essa integral iterada. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança da ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 4. Para cada valor de , varia de até .
Vamos esboçar esses limites no plano :
  1. A função descreve uma parte da parábola rearranjada para .
  2. A função é uma reta que passa por quando e desce com inclinação .

Passo 3

Para facilitar, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Para isso, precisamos encontrar os novos limites:
  • varia de onde a reta e a parábola se intersectam.
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas curvas:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Fatorando:
Então, ou .
Isso significa que as curvas se intersectam nos pontos onde e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para e após inverter a ordem:
  • varia de a : isso porque quando , e quando , .
  • Para um valor fixo de , varia de 0 até (a equação da parábola rearranjada).
Então, a integral invertida fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Aqui, tratamos como constante, então:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Então:

Passo 8

Agora, avaliamos os limites de integração:
Para :
Para :
Portanto:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Resolva as seguintes equações:
Resolva as seguintes equações: