Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração. integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla dada por:
integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y , dx , dy
O objetivo é esboçar a região de integração e calcular essa integral iterada. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança da ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 4. Para cada valor de , varia de até .
Vamos esboçar esses limites no plano :
  1. A função descreve uma parte da parábola rearranjada para .
  2. A função é uma reta que passa por quando e desce com inclinação .

Passo 3

Para facilitar, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a -raiz4 - y = y - 42 e depois em relação a 4 - y = ( y - 42 )^2 .
Para isso, precisamos encontrar os novos limites:
  • 4 - y = (y - 4)^24 varia de onde a reta e a parábola se intersectam.
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas curvas:
16 - 4y = (y - 4)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
16 - 4y = y^2 - 8y + 16
Resolvendo essa equação:
0 = y^2 - 4y
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
y(y - 4) = 0
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Fatorando:
Então, ou .
Isso significa que as curvas se intersectam nos pontos onde e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para integral-2^0 integral0^4 - x^2 x y , dy , dx e após inverter a ordem:
  • varia de a : isso porque quando , e quando , .
  • Para um valor fixo de , varia de 0 até (a equação da parábola rearranjada).
Então, a integral invertida fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^4 - x^2 x y , dy :
x integral0^4 - x^2 y , dy = x [ y^22 ]0^4 - x^2 = x ( (4 - x^2)^22 ) = x (4 - x^2)^22
Aqui, tratamos como constante, então:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral-2^0 x (4 - x^2)^22 , dx = 12 integral-2^0 x (4 - x^2)^2 , dx :
(4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4
Vamos expandir 12 integral-2^0 x (16 - 8x^2 + x^4) , dx = 12 integral-2^0 (16x - 8x^3 + x^5) , dx :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
12 [ integral-2^0 16x , dx - integral-2^0 8x^3 , dx + integral-2^0 x^5 , dx ]
Calculando cada integral:
  1. integral 16x , dx = 8x^2
  2. integral 8x^3 , dx = 2x^4
  3. integral x^5 , dx = x^66
Então:
12 [ 8x^2 - 2x^4 + x^66 ]-2^0

Passo 8

Agora, avaliamos os limites de integração:
Para 8(0)^2 - 2(0)^4 + (0)^66 = 0 :
8(-2)^2 - 2(-2)^4 + (-2)^66 = 8(4) - 2(16) + 646 = 32 - 32 + 646 = 646 = 323
Para 12 [ 0 - 323 ] = 12 ( -323 ) = -163 :
Portanto:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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