Calcule a integral tripla integral tripla(y+z) d V, onde E é o tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla integral tripla(y + z) , dV sobre o tetraedro E com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais múltiplas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para um tetraedro e como integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E. Um tetraedro com esses vértices está dentro do primeiro octante onde x, y e z são positivos, e está limitado pelo plano x + y + z = 1. Isso significa que E é o conjunto de pontos (x, y, z) onde x >= 0, y >= 0, z >= 0 e x + y + z <= 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração para x, y e z. Podemos escolher qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em relação a z, depois y e por último x.
  • Para x, ele varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 a 1 - x.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 a 1 - x - y.

Passo 4

Com os limites definidos, a integral tripla fica:
integral tripla (y + z) , dV = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y (y + z) , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a z:
integral0^1 - x - y (y + z) , dz = [ y z + 12 z^2 ]0^1 - x - y = y(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2

Passo 6

Substituindo de volta na integral dupla, temos:
integral0^1 integral0^1 - x [ y(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2 ] , dy , dx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
y(1 - x - y) = y(1 - x) - y^2
12(1 - x - y)^2 = 12(1 - 2x + x^2 - 2y + 2xy + y^2)
Agora, somando os termos:
y(1 - x - y) + 12(1 - x - y)^2 = y(1 - x) - y^2 + 12 - x + x^22 - y + xy + y^22
Simplificando ainda mais:
= 12 + y(1 - x - 1 + x) + x^2/2 - y^2/2 - x
= 12 - x + x^22 - y^22

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a y:
integral0^1 - x ( 12 - x + x^22 - y^22 ) dy = [ (12 - x + x^22)y - y^36 ]0^1 - x
= (12 - x + x^22)(1 - x) - (1 - x)^36

Passo 9

Expandindo e simplificando:
(12 - x + x^22)(1 - x) = 12(1 - x) - x(1 - x) + x^22(1 - x)
= 12 - x2 - x + x^2 + x^22 - x^32
= 12 - 3x2 + 3x^22 - x^32
E:
(1 - x)^36 = 1 - 3x + 3x^2 - x^36
Subtraindo:
12 - 3x2 + 3x^22 - x^32 - ( 16 - x2 + x^22 - x^36 )
= 12 - 16 - 3x2 + x2 + 3x^22 - x^22 - x^32 + x^36
= 13 - x + x^2 - x^33

Passo 10

Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 ( 13 - x + x^2 - x^33 ) dx = [ x3 - x^22 + x^33 - x^412 ]0^1
= ( 13 - 12 + 13 - 112 ) - 0
= 13 + 13 - 12 - 112
= 23 - 712 = 812 - 712 = 112

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla integral tripla(y + z) , dV sobre o tetraedro E é 112.

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