Calcule a integral tripla
, onde
é o tetraedro com vértices
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla
sobre o tetraedro
com vértices em
,
,
e
. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais múltiplas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para um tetraedro e como integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Um tetraedro com esses vértices está dentro do primeiro octante onde
,
e
são positivos, e está limitado pelo plano
. Isso significa que
é o conjunto de pontos
onde
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração para
,
e
. Podemos escolher qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em relação a
, depois
e por último
.
- Para
, ele varia de a . - Para cada valor de
, varia de a . - Para cada par
, varia de a .
Passo 4
Com os limites definidos, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
Passo 6
Substituindo de volta na integral dupla, temos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, somando os termos:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 9
Expandindo e simplificando:
E:
Subtraindo:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla
sobre o tetraedro
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelo paraboloide
e o plano
.
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.