Calcule a integral tripla , onde é o tetraedro com vértices , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla sobre o tetraedro com vértices em , , e . Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais múltiplas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para um tetraedro e como integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Um tetraedro com esses vértices está dentro do primeiro octante onde , e são positivos, e está limitado pelo plano . Isso significa que é o conjunto de pontos onde , , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração para , e . Podemos escolher qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em relação a , depois e por último .
  • Para , ele varia de a .
  • Para cada valor de , varia de a .
  • Para cada par , varia de a .

Passo 4

Com os limites definidos, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a :

Passo 6

Substituindo de volta na integral dupla, temos:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, somando os termos:
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 9

Expandindo e simplificando:
E:
Subtraindo:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla sobre o tetraedro é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo paraboloide e o plano .
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.