Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^1 integralx^2^x exp (y / x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e calcular uma integral dupla:
integral0^1 integralx^2^x e^yx , dy , dx
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas e mudança da ordem de integração. Vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano xy e, se necessário, inverter a ordem das integrais para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1. Para cada , varia de até . Vamos plotar esses limites:
  • A curva é uma parábola que abre para cima.
  • A reta é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
Entre e , a região de integração está entre a parábola e a reta.

Passo 3

Agora, vamos ver se inverter a ordem de integração facilita o cálculo. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração com integral0^1 integralraizy^y e^yx , dx , dy como primeiro limite.
Observando a região:
  • varia de 0 a 1 (o menor valor de na região é 0 e o maior é 1).
  • Para cada , varia de até . Isso porque implica , e implica .
Então, a integral invertida fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral invertida:
integral0^1 integralraizy^y e^yx , dx , dy
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição. Vamos deixar , então ou . Porém, essa substituição parece complicada, então talvez seja melhor voltar à ordem original.

Passo 5

Vamos tentar resolver a integral na ordem original:
integral0^1 integralx^2^x e^yx , dy , dx
Integrando em relação a integral e^yx , dy = x e^yx + C :
x ( e^xx - e^x^2x ) = x ( e^1 - e^x )
Aplicando os limites de integral0^1 x (e - e^x) , dx = e integral0^1 x , dx - integral0^1 x e^x , dx :
Então, a integral se reduz a:

Passo 6

Calculando as integrais separadamente:
  1. e integral0^1 x , dx = e [ x^22 ]0^1 = e ( 12 - 0 ) = e2
  2. integral0^1 x e^x , dx
Para essa segunda integral, usamos a integração por partes. Seja uv - integral v , du = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C e (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1 . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 7

Agora, juntando os resultados:
e2 - 1

Resposta

A integral vale .

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