Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e calcular uma integral dupla:
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas e mudança da ordem de integração. Vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano xy e, se necessário, inverter a ordem das integrais para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 1. Para cada
,
varia de
até
. Vamos plotar esses limites:
- A curva
é uma parábola que abre para cima. - A reta
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
Entre
e
, a região de integração está entre a parábola e a reta.
Passo 3
Agora, vamos ver se inverter a ordem de integração facilita o cálculo. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração com
como primeiro limite.
Observando a região:
-
varia de 0 a 1 (o menor valor de na região é 0 e o maior é 1). - Para cada
, varia de até . Isso porque implica , e implica .
Então, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral invertida:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
ou
. Porém, essa substituição parece complicada, então talvez seja melhor voltar à ordem original.
Passo 5
Vamos tentar resolver a integral na ordem original:
Integrando em relação a
:
Aplicando os limites de
:
Então, a integral se reduz a:
Passo 6
Calculando as integrais separadamente:
Para essa segunda integral, usamos a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 7
Agora, juntando os resultados:
Resposta
A integral vale
.
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Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(d) ;
(d)
Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(b) ;
(b)
Sejam
e
para todo
. Determine:
a) ;
a)
Considere os conjuntos
e
.
(a) Construa os conjuntos e
.
(a) Construa os conjuntos