Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(d) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se uma determinada relação é uma função ou não. O conteúdo aqui é sobre funções matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma função: basicamente, pra cada valor de entrada (x), só pode existir um único valor de saída (f(x)).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a definição dada:
Isso significa que a função muda a regra que usamos para calcular f(x) dependendo do valor de x.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se para cada x na reta dos números reais , existe apenas um f(x). Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Para x < 2: A regra é usar . Isso é uma função comum, já que cada x vai dar um único x².
  2. Para x 2: A regra é usar . Também é uma função padrão, já que cada x vai dar um único 2x.

Passo 4

O ponto crucial é ver se há algum x que cai em ambas as regras, ou seja, se existe um x que seja menor que 2 e maior ou igual a 2 ao mesmo tempo. Olhando bem, não tem como um número ser simultaneamente menor que 2 e maior ou igual a 2. Então, não há sobreposição nas regras.

Passo 5

Como cada x só se encaixa em uma das duas regras e não há x que tenha mais de um f(x), podemos concluir que a relação dada é uma função.

Resposta

A relação definida é uma função, pois para cada x, existe apenas um f(x) definido pelas regras dadas.

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Determine quais das relações a seguir determinam uma função e qual não determina. Justifique a sua resposta.
(b) ;
Considerando e , determine quais relações abaixo definem uma função e quais não definem uma função. Justifique a sua resposta.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Sejam e para todo . Determine:
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