Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla, que é uma forma de somar valores de uma função sobre uma região específica no plano. Aqui, temos a integral:
Vamos precisar entender como desenhar a região de integração e, se for mais fácil, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável
vai de 0 a 4. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Vamos plotar essas curvas para visualizar a região:
-
é uma semicircunferência deslocada. -
é uma reta.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde elas se encontram. Igualando as duas expressões para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação, encontramos que as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Agora, vamos redesenhar a região de integração com base nesses limites. Como as curvas se encontram nos extremos de
, a região é um pouco triangular e circular. Mas para facilitar, vamos trocar a ordem de integração, integrando primeiro em
e depois em
.
Passo 5
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando a região:
-
varia de a (já que quando , e de , ). - Para cada
, varia de 0 até (rearranjando para ).
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora vamos calcular a integral interna, integrando
com respeito a
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão com respeito a
de
a
:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Avaliar de
a
:
Para
:
Para
:
A diferença é:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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