Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla, que é uma forma de somar valores de uma função sobre uma região específica no plano. Aqui, temos a integral:
Vamos precisar entender como desenhar a região de integração e, se for mais fácil, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável vai de 0 a 4. Para cada valor de , varia de até .
Vamos plotar essas curvas para visualizar a região:
  1. é uma semicircunferência deslocada.
  2. é uma reta.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde elas se encontram. Igualando as duas expressões para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação, encontramos que as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Agora, vamos redesenhar a região de integração com base nesses limites. Como as curvas se encontram nos extremos de , a região é um pouco triangular e circular. Mas para facilitar, vamos trocar a ordem de integração, integrando primeiro em e depois em .

Passo 5

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando a região:
  • varia de a (já que quando , e de , ).
  • Para cada , varia de 0 até (rearranjando para ).
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora vamos calcular a integral interna, integrando com respeito a :

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão com respeito a de a :
Integrando termo a termo:

Passo 9

Avaliar de a :
Para :
Para :
A diferença é:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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