Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla, que é uma forma de somar valores de uma função sobre uma região específica no plano. Aqui, temos a integral:
integral0^4 integral-raiz4-y^y-42 x y , dx , dy
Vamos precisar entender como desenhar a região de integração e, se for mais fácil, trocar a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável vai de 0 a 4. Para cada valor de , varia de até .
Vamos plotar essas curvas para visualizar a região:
  1. é uma semicircunferência deslocada.
  2. é uma reta.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde elas se encontram. Igualando as duas expressões para -raiz4 - y = y - 42 :
4 - y = (y - 42)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resolvendo essa equação, encontramos que as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Agora, vamos redesenhar a região de integração com base nesses limites. Como as curvas se encontram nos extremos de , a região é um pouco triangular e circular. Mas para facilitar, vamos trocar a ordem de integração, integrando primeiro em e depois em .

Passo 5

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Observando a região:
  • integral-2^0 integral0^4 - x^2 x y , dy , dx varia de a (já que quando , e de , ).
  • Para cada , varia de 0 até (rearranjando para ).
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora vamos calcular a integral interna, integrando integral0^4 - x^2 x y , dy = x [ y^22 ]0^4 - x^2 = x ( (4 - x^2)^22 ) com respeito a :

Passo 7

Simplificando a expressão:
x cdot (16 - 8x^2 + x^4)2 = x2 (16 - 8x^2 + x^4) = 8x - 4x^3 + x^52

Passo 8

Agora, integramos essa expressão com respeito a integral-2^0 (8x - 4x^3 + x^52) , dx de 8 cdot x^22 - 4 cdot x^44 + 12 cdot x^66 = 4x^2 - x^4 + x^612 a :
Integrando termo a termo:

Passo 9

Avaliar de 4(0)^2 - (0)^4 + (0)^612 = 0 a 4(-2)^2 - (-2)^4 + (-2)^612 = 4(4) - 16 + 6412 = 16 - 16 + 163 = 163 :
Para 0 - 163 = -163 :
Para :
A diferença é:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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