Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
(g) integral0^2 integral0^e^e^x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como definir a região de integração e, se necessário, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. A integral está definida para variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a . Então, a região está no primeiro quadrante, entre e , e de até .

Passo 3

Agora, vamos ver se dá para mudar a ordem de integração para simplificar. Se fizermos isso, precisaríamos expressar em termos de . A expressão pode ser difícil de inverter, então talvez seja melhor mantermos a ordem original de integração.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é integral0^e^e^x dy = y gr|0^e^e^x = e^e^x - 0 = e^e^x . Integrar é bem simples, pois a integral de 1 em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^2 e^e^x dx
Essa integral ainda parece complicada, mas podemos resolver usando substituição. Vamos deixar isso claro.

Passo 6

Vamos fazer a substituição integralu=1^u=e^2 e^u cdot duu . Então, , ou seja, . Quando , . Quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

A integral ficou:
integral1^e^2 e^uu du
Infelizmente, essa integral não tem uma forma primitiva expressa em funções elementares. Podemos dizer que ela é representada pela função integral exponencial, mas como estamos focando em etapas didáticas, encerremos por aqui.

Resposta

A integral dupla não possui uma solução em termos de funções elementares e é representada pela função integral exponencial.

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