Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como definir a região de integração e, se necessário, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. A integral está definida para variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a . Então, a região está no primeiro quadrante, entre e , e de até .
Passo 3
Agora, vamos ver se dá para mudar a ordem de integração para simplificar. Se fizermos isso, precisaríamos expressar em termos de . A expressão pode ser difícil de inverter, então talvez seja melhor mantermos a ordem original de integração.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é . Integrar é bem simples, pois a integral de 1 em relação a é . Então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^2 e^e^x dx
Essa integral ainda parece complicada, mas podemos resolver usando substituição. Vamos deixar isso claro.
Passo 6
Vamos fazer a substituição integralu=1^u=e^2 e^u cdot duu . Então, , ou seja, . Quando , . Quando , .
Substituindo na integral:
Passo 7
A integral ficou:
integral1^e^2 e^uu du
Infelizmente, essa integral não tem uma forma primitiva expressa em funções elementares. Podemos dizer que ela é representada pela função integral exponencial, mas como estamos focando em etapas didáticas, encerremos por aqui.
Resposta
A integral dupla não possui uma solução em termos de funções elementares e é representada pela função integral exponencial.