A preço
, uma indústria consegue vender
artigos por semana.
custo de produção de
artigos é
. Determine
e o nível de produção semanal para que o lucro da indústria seja máximo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma indústria que vende produtos a um preço
, onde
. A quantidade de artigos vendidos por semana é dada por
. O custo de produção para
artigos é
. Nosso objetivo é encontrar o preço
e o nível de produção semanal que maximizam o lucro da indústria.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos de função de lucro, receita, e custo. Vamos calcular a receita total, o custo total e, a partir disso, a função de lucro. Depois, encontraremos o valor de
que maximiza essa função.
Passo 2
Vamos começar calculando a receita total ®. A receita é o valor que a empresa recebe pela venda dos produtos, que é o preço multiplicado pela quantidade vendida.
A fórmula da receita é:
Aqui,
é o preço por artigo e
é a quantidade vendida quando o preço é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total ©. O custo total é o que a empresa gasta para produzir os artigos. A fórmula do custo total é:
Onde
é o número de artigos produzidos.
Como a quantidade produzida
deve ser igual à quantidade vendida, temos:
Então, substituindo
na fórmula do custo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão do custo total:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função de lucro (L). O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total:
Substituindo as expressões que encontramos para
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão da função de lucro:
Passo 7
Para encontrar o preço
que maximiza o lucro, vamos usar o cálculo de derivadas. A função de lucro é uma função quadrática que possui um ponto máximo, já que o coeficiente de
é negativo.
A derivada da função de lucro em relação a
é:
Para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Então, o preço que maximiza o lucro é
reais.
Passo 9
Agora, vamos determinar o nível de produção semanal
correspondente a esse preço. Lembrando que:
Substituindo
:
Resposta
Para maximizar o lucro da indústria, o preço ideal é
reais e o nível de produção semanal é de
artigos.
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