A preço p, 0 <= p <= 200, uma indústria consegue vender 1000 - 5p artigos por semana. O custo de produção de x artigos é 200 + 20 x. Determine p e o nível de produção semanal para que o lucro da indústria seja máximo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma indústria que vende produtos a um preço p, onde . A quantidade de artigos vendidos por semana é dada por . O custo de produção para x artigos é . Nosso objetivo é encontrar o preço p e o nível de produção semanal que maximizam o lucro da indústria.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos de função de lucro, receita, e custo. Vamos calcular a receita total, o custo total e, a partir disso, a função de lucro. Depois, encontraremos o valor de p que maximiza essa função.

Passo 2

Vamos começar calculando a receita total ®. A receita é o valor que a empresa recebe pela venda dos produtos, que é o preço multiplicado pela quantidade vendida.
A fórmula da receita é:
Aqui, p é o preço por artigo e é a quantidade vendida quando o preço é p.

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total ©. O custo total é o que a empresa gasta para produzir os artigos. A fórmula do custo total é:
Onde x é o número de artigos produzidos.
Como a quantidade produzida x deve ser igual à quantidade vendida, temos:
Então, substituindo x na fórmula do custo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do custo total:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função de lucro (L). O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total:
Substituindo as expressões que encontramos para R e C:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão da função de lucro:

Passo 7

Para encontrar o preço p que maximiza o lucro, vamos usar o cálculo de derivadas. A função de lucro é uma função quadrática que possui um ponto máximo, já que o coeficiente de é negativo.
A derivada da função de lucro em relação a p é:
Para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:

Passo 8

Resolvendo a equação:
Então, o preço que maximiza o lucro é reais.

Passo 9

Agora, vamos determinar o nível de produção semanal x correspondente a esse preço. Lembrando que:
Substituindo :

Resposta

Para maximizar o lucro da indústria, o preço ideal é reais e o nível de produção semanal é de artigos.

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