Em cada caso, escreva o vetor v como combinação linear de v1, v2, ldots
(e) Em P2(R), v=t^2-2 t, v1=t+1, v2=t^2 e v3=2 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente em combinação linear de vetores. Para isso, vamos precisar encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem em .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a combinação linear que queremos encontrar. Queremos achar números v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , t^2 - 2t = a(t + 1) + b(t^2) + c(2t) e tais que:
Substituindo os vetores fornecidos:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
t^2 - 2t = a cdot t + a cdot 1 + b cdot t^2 + 2c cdot t
Vamos organizar os termos por ordem de potência de t^2 - 2t = b cdot t^2 + (a + 2c) cdot t + a :

Passo 4

Para que as duas expressões sejam iguais para todo 1 = b , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes de cada potência de -2 = a + 2c :
  1. Coeficiente de 0 = a :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  • Da terceira equação, já temos -2 = 0 + 2c Rightarrow c = -1 .
  • Substituindo na segunda equação:
  • Da primeira equação, temos .

Resposta

Portanto, a combinação linear é:
v = 0 cdot v1 + 1 cdot v2 - 1 cdot v3
Ou simplificando:
v = v2 - v3

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