Expresse o seguinte polinômio:
como combinação linear de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o polinômio como uma combinação linear de três outros polinômios:
Isso significa que precisamos encontrar constantes , e tais que:
Vamos precisar montar um sistema de equações para descobrir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a combinação linear:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes.

Passo 3

Agrupando os termos constantes, os de e os de :
Portanto, a combinação linear fica:

Passo 4

Agora, igualamos essa expressão ao polinômio :
Esse é o nosso sistema de equações que vamos resolver.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
Vamos substituir nas outras equações.

Passo 6

Substituindo na primeira equação:
çã

Passo 7

Agora, substituindo na terceira equação:
çã

Passo 8

Temos agora um sistema com duas equações:
çã
çã
Vamos resolver multiplicando a Equação 1 por 3:
Somando com a Equação 2:

Passo 9

Com , substituímos na Equação 1:

Passo 10

Agora, voltando à expressão de :

Resposta

Portanto, os coeficientes são:
Então, o polinômio pode ser expresso como:

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