Expresse o seguinte polinômio:
p(x)=3+3 x+5 x^2
como combinação linear de
p1(x)=2+x+1 x^2, p2(x)=1-x+3 x^2, p3(x)=3+2 x+5 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o polinômio p1(x) = 2 + x + x^2, p2(x) = 1 - x + 3x^2, p3(x) = 3 + 2x + 5x^2 como uma combinação linear de três outros polinômios:
p(x) = a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x)
Isso significa que precisamos encontrar constantes , e tais que:
Vamos precisar montar um sistema de equações para descobrir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a combinação linear:
a(2 + x + x^2) + b(1 - x + 3x^2) + c(3 + 2x + 5x^2)
Distribuindo os termos:
= 2a + a x + a x^2 + b + (-b x) + 3b x^2 + 3c + 2c x + 5c x^2
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes.

Passo 3

Agrupando os termos constantes, os de Constantes: 2a + b + 3c, e os de Termos de x: a x - b x + 2c x = (a - b + 2c) x, :
Termos de x^2: a x^2 + 3b x^2 + 5c x^2 = (a + 3b + 5c) x^2
(2a + b + 3c) + (a - b + 2c) x + (a + 3b + 5c) x^2
Portanto, a combinação linear fica:

Passo 4

Agora, igualamos essa expressão ao polinômio 2a + b + 3c = 3 (termos constantes), :
a - b + 2c = 3 (termos de x),
a + 3b + 5c = 5 (termos de x^2)
Esse é o nosso sistema de equações que vamos resolver.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a - b + 2c = 3 Rightarrow a = b - 2c + 3
Vamos substituir nas outras equações.

Passo 6

Substituindo 2(b - 2c + 3) + b + 3c = 3, na primeira equação:
2b - 4c + 6 + b + 3c = 3,
3b - c + 6 = 3,
3b - c = -3 (Equação 1)
çã

Passo 7

Agora, substituindo (b - 2c + 3) + 3b + 5c = 5, na terceira equação:
b - 2c + 3 + 3b + 5c = 5,
4b + 3c + 3 = 5,
4b + 3c = 2 (Equação 2)
çã

Passo 8

Temos agora um sistema com duas equações:
3b - c = -3 (Equação 1), çã
4b + 3c = 2 (Equação 2) çã
Vamos resolver multiplicando a Equação 1 por 3:
9b - 3c = -9
Somando com a Equação 2:
9b - 3c + 4b + 3c = -9 + 2,
13b = -7 Rightarrow b = -713

Passo 9

Com 3(-713) - c = -3, , substituímos na Equação 1:
-2113 - c = -3,
-c = -3 + 2113 = -3913 + 2113 = -1813,
c = 1813

Passo 10

Agora, voltando à expressão de a = b - 2c + 3 = -713 - 2(1813) + 3 = -713 - 3613 + 3913 = -43 + 3913 = -413 :

Resposta

Portanto, os coeficientes são:
a = -413, b = -713, c = 1813
Então, o polinômio p(x) = -413 cdot p1(x) - 713 cdot p2(x) + 1813 cdot p3(x) pode ser expresso como:

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