Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com duas equações e três incógnitas:
Nosso objetivo é encontrar os valores reais de que fazem esse sistema ter:
Uma única solução
Infinitas soluções
Nenhuma solução
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de consistência do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o sistema. Temos duas equações com três incógnitas (). Normalmente, em sistemas com mais incógnitas do que equações, a gente espera ter infinitas soluções, já que tem “espaço” de sobra. Mas dependendo do valor de , podemos ter situações diferentes.
Passo 3
Vamos reescrever o sistema de forma matricial para facilitar a análise:
[
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
E o vetor dos termos constantes é:
Passo 4
Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos analisar o posto da matriz dos coeficientes () e o posto da matriz aumentada ().
Se número de incógnitas, o sistema tem uma única solução.
Se número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.
Se , o sistema não tem solução.
Mas como temos mais incógnitas que equações, vamos focar em quando o sistema é consistente ou inconsistente, dependendo de .
Passo 5
Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para verificar se as equações são linearmente independentes:
Se (), as equações são linearmente independentes, e o sistema terá infinitas soluções.
Se (), as equações são linearmente dependentes, e precisamos verificar a consistência.
Passo 6
Vamos analisar o caso onde :
Substituindo nas equações:
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, mas o termo constante não é o dobro:
Isso significa que as equações são contraditórias, ou seja, o sistema não tem solução quando .
Passo 7
Resumindo:
Para :
O determinante .
As equações são linearmente independentes.
O sistema tem infinitas soluções.
Para :
O determinante .
As equações são linearmente dependentes e inconsistentes.
O sistema não tem solução.
Resposta
(i) O sistema tem infinitas soluções para todo .
(ii) O sistema não possui soluções quando .
(iii) Não há valores de que resultem em uma única solução para este sistema.