Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com duas equações e três incógnitas:
Nosso objetivo é encontrar os valores reais de que fazem esse sistema ter:
  1. Uma única solução
  2. Infinitas soluções
  3. Nenhuma solução
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de consistência do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o sistema. Temos duas equações com três incógnitas ( ). Normalmente, em sistemas com mais incógnitas do que equações, a gente espera ter infinitas soluções, já que tem “espaço” de sobra. Mas dependendo do valor de , podemos ter situações diferentes.

Passo 3

Vamos reescrever o sistema de forma matricial para facilitar a análise:

[


]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
E o vetor dos termos constantes é:

Passo 4

Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos analisar o posto da matriz dos coeficientes ( ) e o posto da matriz aumentada ( ).
  • Se número de incógnitas, o sistema tem uma única solução.
  • Se número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.
  • Se , o sistema não tem solução.
Mas como temos mais incógnitas que equações, vamos focar em quando o sistema é consistente ou inconsistente, dependendo de .

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para verificar se as equações são linearmente independentes:
  • Se ( ), as equações são linearmente independentes, e o sistema terá infinitas soluções.
  • Se ( ), as equações são linearmente dependentes, e precisamos verificar a consistência.

Passo 6

Vamos analisar o caso onde :
Substituindo nas equações:
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, mas o termo constante não é o dobro:
Isso significa que as equações são contraditórias, ou seja, o sistema não tem solução quando .

Passo 7

Resumindo:
  1. Para :
    • O determinante .
    • As equações são linearmente independentes.
    • O sistema tem infinitas soluções.
  2. Para :
    • O determinante .
    • As equações são linearmente dependentes e inconsistentes.
    • O sistema não tem solução.

Resposta

(i) O sistema tem infinitas soluções para todo .
(ii) O sistema não possui soluções quando .
(iii) Não há valores de que resultem em uma única solução para este sistema.

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(a) Fornecer o vetor paralelo á reta r.
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(e) e .
Seja a reta
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Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução: