Em cada caso, escreva o vetor v como combinação linear de v1, v2, ldots
(a) Em R^2, v=(1,3), v1=(1,2) e v2=(-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor v = a cdot v1 + b cdot v2 como uma combinação linear dos vetores e no espaço . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver, vamos encontrar os coeficientes e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação das combinações lineares com os valores dados:
(1, 3) = a cdot (1, 2) + b cdot (-1, 1)
Isso significa que cada componente de é igual à combinação linear das respectivas componentes de e .

Passo 3

Vamos separar isso em duas equações, uma para a primeira coordenada e outra para a segunda:
1 = a cdot 1 + b cdot (-1) 3 = a cdot 2 + b cdot 1
Simplificando, temos:
1 = a - b 3 = 2a + b

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Vamos resolver para 1 = a - b Rightarrow a = 1 + b e . Podemos usar o método de substituição. Da primeira equação:

Passo 5

Substituímos 3 = 2(1 + b) + b na segunda equação:
3 = 2 + 2b + b Rightarrow 3 = 2 + 3b
Distribuindo:

Passo 6

Isolando 3 - 2 = 3b Rightarrow 1 = 3b Rightarrow b = 13 :

Passo 7

Agora que temos a = 1 + b = 1 + 13 = 43 , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

Portanto, o vetor v = 43 cdot v1 + 13 cdot v2 pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

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