Verifique quais das funções abaixo são lineares.
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se uma certa função é linear. O conteúdo aqui envolve transformações lineares no espaço vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como checar se uma função se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação
é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Em outras palavras, a transformação deve preservar a estrutura de adição e escala dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que foi dada:
Onde
são elementos do campo
.
Essa forma se assemelha a uma transformação linear padrão, que pode ser representada por uma matriz. Se conseguirmos expressar
como uma multiplicação de matriz por um vetor, então sabemos que
é linear.
Passo 4
Vamos representar
como uma matriz. Podemos escrever:
Essa é a forma clássica de uma transformação linear, onde cada componente da imagem é uma combinação linear das componentes de entrada.
Passo 5
Como conseguimos representar
como uma multiplicação de matriz por um vetor, isso indica que
sempre será uma transformação linear, independentemente dos valores específicos de
, desde que eles pertençam ao campo
.
Resposta
A função
é uma transformação linear.