Verifique quais das funções abaixo são lineares. , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se uma certa função é linear. O conteúdo aqui envolve transformações lineares no espaço vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como checar se uma função se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Em outras palavras, a transformação deve preservar a estrutura de adição e escala dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que foi dada:
Onde são elementos do campo .
Essa forma se assemelha a uma transformação linear padrão, que pode ser representada por uma matriz. Se conseguirmos expressar como uma multiplicação de matriz por um vetor, então sabemos que é linear.

Passo 4

Vamos representar como uma matriz. Podemos escrever:
Essa é a forma clássica de uma transformação linear, onde cada componente da imagem é uma combinação linear das componentes de entrada.

Passo 5

Como conseguimos representar como uma multiplicação de matriz por um vetor, isso indica que sempre será uma transformação linear, independentemente dos valores específicos de , desde que eles pertençam ao campo .

Resposta

A função é uma transformação linear.

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Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a) e
Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
а)
Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
©
Em cada caso, escreva o vetor como combinação linear de
(a) e .