Verifique quais das funções abaixo são lineares. , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se uma certa função é linear. O conteúdo aqui envolve transformações lineares no espaço vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como checar se uma função se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades:
Adição de vetores:
Multiplicação por escalar:
Em outras palavras, a transformação deve preservar a estrutura de adição e escala dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que foi dada:
Onde são elementos do campo .
Essa forma se assemelha a uma transformação linear padrão, que pode ser representada por uma matriz. Se conseguirmos expressar como uma multiplicação de matriz por um vetor, então sabemos que é linear.
Passo 4
Vamos representar como uma matriz. Podemos escrever:
Essa é a forma clássica de uma transformação linear, onde cada componente da imagem é uma combinação linear das componentes de entrada.
Passo 5
Como conseguimos representar como uma multiplicação de matriz por um vetor, isso indica que sempre será uma transformação linear, independentemente dos valores específicos de , desde que eles pertençam ao campo .