Sejam
e B é uma matriz não nula fixada em
, quais das seguintes funções são lineares?
.
Passo 1
Vamos entender o problema. Temos um espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes
com elementos em um corpo
. Foi fixada uma matriz não nula
nesse espaço. A função dada é
. Nosso objetivo é determinar se essa função é linear. Para isso, vamos precisar lembrar as propriedades de funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Additividade:
para todas . - Homogeneidade:
para todo escalar e toda matriz .
Vamos verificar se a função
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Verificando a additividade:
Tomemos duas matrizes
e
em
.
No entanto, para a additividade, precisaríamos que fosse igual a
.
Como
não é nula,
. Portanto, a additividade não é satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Tomemos um escalar
e uma matriz
em
.
Por outro lado,
Novamente, como
não é nula, a igualdade
só é válida se
, o que não é o caso. Logo, a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
A função
não é linear.