Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .
Passo 1
Vamos entender o problema. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes com elementos em um corpo . Foi fixada uma matriz não nula nesse espaço. A função dada é . Nosso objetivo é determinar se essa função é linear. Para isso, vamos precisar lembrar as propriedades de funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
1. **Additividade**: para todas .
2. **Homogeneidade**: para todo escalar e toda matriz .
Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades.
Passo 3
**Verificando a additividade**:
Tomemos duas matrizes e em .
No entanto, para a additividade, precisaríamos que fosse igual a .
Como não é nula, . Portanto, a additividade não é satisfeita.
Passo 4
**Verificando a homogeneidade**:
Tomemos um escalar e uma matriz em .
Por outro lado,
Novamente, como não é nula, a igualdade só é válida se , o que não é o caso. Logo, a homogeneidade também não é satisfeita.