Sejam V=F^n times n e B é uma matriz não nula fixada em V, quais das seguintes funções são lineares? T(A)=B+A.

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes com elementos em um corpo . Foi fixada uma matriz não nula nesse espaço. A função dada é . Nosso objetivo é determinar se essa função é linear. Para isso, vamos precisar lembrar as propriedades de funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Additividade: para todas .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e toda matriz .
Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a additividade:
Tomemos duas matrizes T(A + C) = B + (A + C) = (B + A) + C = T(A) + C e em .
No entanto, para a additividade, precisaríamos que fosse igual a .
Como não é nula, . Portanto, a additividade não é satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Tomemos um escalar T(k A) = B + k A e uma matriz k T(A) = k (B + A) = k B + k A em .
Por outro lado,
Novamente, como não é nula, a igualdade só é válida se , o que não é o caso. Logo, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A função não é linear.

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