Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes com elementos em um corpo . Foi fixada uma matriz não nula nesse espaço. A função dada é . Nosso objetivo é determinar se essa função é linear. Para isso, vamos precisar lembrar as propriedades de funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades: 1. **Additividade**: para todas . 2. **Homogeneidade**: para todo escalar e toda matriz . Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 3

**Verificando a additividade**: Tomemos duas matrizes e em . No entanto, para a additividade, precisaríamos que fosse igual a . Como não é nula, . Portanto, a additividade não é satisfeita.

Passo 4

**Verificando a homogeneidade**: Tomemos um escalar e uma matriz em . Por outro lado, Novamente, como não é nula, a igualdade só é válida se , o que não é o caso. Logo, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A função não é linear.

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Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: (c)
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Em cada caso, escreva o vetor como combinação linear de (c) e .