Em cada caso, escreva o vetor v como combinação linear de v1, v2, ldots
(b) Em R^3, v=(2,1,4), v1=(1,0,0), v2=(1,1,0) e v3=(1,1,1).

Passo 1

Então, temos que escrever o vetor v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 como uma combinação linear dos vetores , e no espaço . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os vetores na equação:
(2, 1, 4) = a cdot (1, 0, 0) + b cdot (1, 1, 0) + c cdot (1, 1, 1)
Agora, vamos distribuir os coeficientes (2, 1, 4) = (a, 0, 0) + (b, b, 0) + (c, c, c) , e :

Passo 3

Somando as componentes correspondentes:
(2, 1, 4) = (a + b + c, 0 + b + c, 0 + 0 + c)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 2 b + c = 1 c = 4

Passo 4

Vamos resolver o sistema começando pela última equação:
c = 4
Agora, substituímos b + 4 = 1 implies b = 1 - 4 implies b = -3 na segunda equação:
a + (-3) + 4 = a + 1 = 2 implies a = 2 - 1 implies a = 1
Por fim, substituímos e na primeira equação:

Resposta

Portanto, o vetor v = 1 cdot v1 - 3 cdot v2 + 4 cdot v3 pode ser escrito como:
(2, 1, 4) = 1 cdot (1, 0, 0) - 3 cdot (1, 1, 0) + 4 cdot (1, 1, 1)
Ou seja:

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