Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar um conjunto de geradores para um subespaço S = a & b c & d in M(2,2) |, a = -d e c = 2b de matrizes . O subespaço é definido por:
O conteúdo envolvido aqui é a teoria de subespaços vetoriais e geradores em álgebra linear. Vamos precisar entender como expressar as variáveis em termos de parâmetros livres e encontrar as matrizes que podem gerar qualquer elemento de .
Passo 2
Primeiro, observamos as condições dadas:
a = -d e c = 2b
Isso significa que, em qualquer matriz a & b c & d de , o elemento está relacionado a e está relacionado a .
Passo 3
Vamos expressar a matriz geral de a & b c & d = a & b 2b & -a usando essas relações:
Aqui, escolhemos e como parâmetros livres, pois e são determinados por e , respectivamente.
Passo 4
Agora, podemos separar a matriz em combinação linear das matrizes que multiplicam a & b 2b & -a = a 1 & 0 0 & -1 + b 0 & 1 2 & 0 e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação dessas duas matrizes.
Passo 5
Portanto, o conjunto de geradores para é formado por essas duas matrizes, pois elas permitem construir qualquer matriz em através de combinações lineares.
Resposta
Um conjunto de geradores para 1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 2 & 0 é: