Sejam V=F(R, R) e h in R fixado. Mostre que cada uma das funções T: V V abaixo é linear: (T f)(x)=f(x+h). (Deslocamento)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função , definida por , é linear. Aqui, representa o conjunto de todas as funções reais de para . O conteúdo que vamos usar é o de transformações lineares. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz duas propriedades fundamentais da linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer funções e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa função .

Passo 3

Vamos começar verificando a aditividade. Ou seja, queremos mostrar que (T(f + g))(x) = (f + g)(x + h) = f(x + h) + g(x + h) .
Calculando o lado esquerdo:
T(f)(x) + T(g)(x) = f(x + h) + g(x + h)
Agora, calculando o lado direito:
(T(f + g))(x) = T(f)(x) + T(g)(x)
Vendo que ambos os lados são iguais:
Assim, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Ou seja, queremos mostrar que (T(a f))(x) = (a f)(x + h) = a cdot f(x + h) para qualquer escalar a T(f)(x) = a cdot f(x + h) .
Calculando o lado esquerdo:
(T(a f))(x) = a T(f)(x)
Calculando o lado direito:
Novamente, ambos os lados são iguais:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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