Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funções
abaixo é linear:
. (Deslocamento)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
, definida por
, é linear. Aqui,
representa o conjunto de todas as funções reais de
para
. O conteúdo que vamos usar é o de transformações lineares. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz duas propriedades fundamentais da linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer funções
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa função
.
Passo 3
Vamos começar verificando a aditividade. Ou seja, queremos mostrar que
.
Calculando o lado esquerdo:
Agora, calculando o lado direito:
Vendo que ambos os lados são iguais:
Assim, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Ou seja, queremos mostrar que
para qualquer escalar
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Novamente, ambos os lados são iguais:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Em cada caso, escreva o vetor
como combinação linear de
© e
.
©
Em cada caso, escreva o vetor
como combinação linear de
(b) e
.
(b)
Em cada caso, escreva o vetor
como combinação linear de
(d) e
.
(d)
(1,0 ponto) Dados os vetores
e
: Determine
.