Em cada caso, escreva o vetor v como combinação linear de v1, v2, ldots
© Em R^2, v=(1,3), v1=(0,0) e v2=(3,9).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o vetor v = a cdot v1 + b cdot v2 como uma combinação linear dos vetores e no espaço . Isso faz parte do conteúdo de combinação linear em Álgebra Linear. Precisamos encontrar escalares e tal que:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos expressar o vetor como uma soma de múltiplos dos vetores e . Ou seja, encontrar números e que, quando multiplicados pelos respectivos vetores e somados, resultem em .

Passo 3

Vamos escrever a equação com os vetores dados:
(1, 3) = a cdot (0, 0) + b cdot (3, 9)
Simplificando, temos:
(1, 3) = (0 cdot a + 3 cdot b, 0 cdot a + 9 cdot b) = (3b, 9b)

Passo 4

Agora, igualamos as componentes dos vetores:
3b = 1 e 9b = 3
Vamos resolver a primeira equação para encontrar 3b = 1 implies b = 13 :

Passo 5

Vamos verificar se o valor de 9b = 9 cdot 13 = 3 encontrado satisfaz a segunda equação:
Está tudo certo! Agora, como , qualquer múltiplo de será . Portanto, podemos escolher para simplificar.

Passo 6

Finalmente, substituímos os valores de v = 0 cdot v1 + 13 cdot v2 = 13 cdot (3, 9) = (1, 3) e na combinação linear:

Resposta

O vetor v = 0 cdot v1 + 13 cdot v2 pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

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