Em cada caso, escreva o vetor v como combinação linear de v1, v2, ldots
(d) Em R^3, v=(2,-1,6), v1=(1,0,2) e v2=(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor no espaço tridimensional , e queremos escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos precisar entender como combinar os vetores e com certos coeficientes para chegar no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar matematicamente o que queremos: encontrar números v = a cdot v1 + b cdot v2 e (2, -1, 6) = a cdot (1, 0, 2) + b cdot (1, 1, 0) tais que
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes (2, -1, 6) = (a cdot 1 + b cdot 1, a cdot 0 + b cdot 1, a cdot 2 + b cdot 0) e a + b = 2 0 cdot a + b = -1 2a + 0 cdot b = 6 nos vetores:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começando pela segunda equação:
b = -1
Com o valor de a + (-1) = 2 implies a = 3 encontrado, substituímos na primeira equação:
2 cdot 3 = 6 (Verdadeiro)
Agora, verificamos o valor de na terceira equação:

Resposta

Então, conseguimos escrever o vetor v = 3 cdot v1 - 1 cdot v2 como combinação linear dos vetores v = 3v1 - v2 e da seguinte forma:
Ou seja,

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