Sejam V=F(R, R) e h in R fixado. Mostre que cada uma das funções T: V V abaixo é linear: (T f)(x)=f(x+h2)-f(x-h2). (Diferença central)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função definida no conjunto das funções de para é linear. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a parte que fala sobre operadores lineares. Para resolver, vamos precisar lembrar o que significa uma função ser linear: ela deve respeitar duas propriedades básicas, que são a adição de funções e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearidade. Uma função é linear se, para quaisquer duas funções e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (Adição)
  2. (Multiplicação por escalar)

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição, a adição. Temos que:
T(f + g)(x) = (f + g)(x + h2) - (f + g)(x - h2)
Distribuindo a soma dentro da função, fica:
= f(x + h2) + g(x + h2) - f(x - h2) - g(x - h2)
Reorganizando os termos:
= [f(x + h2) - f(x - h2)] + [g(x + h2) - g(x - h2)]
Isso é exatamente T(f + g) = T(f) + T(g) , ou seja:

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição, a multiplicação por escalar. Seja T(c cdot f)(x) = (c cdot f)(x + h2) - (c cdot f)(x - h2) um número real qualquer. Temos:
= c cdot f(x + h2) - c cdot f(x - h2)
Podemos fatorar o = c cdot [f(x + h2) - f(x - h2)] de fora das funções:
T(c cdot f) = c cdot T(f)
Fatorando o da expressão inteira:
Isso é igual a , ou seja:

Resposta

Como verificamos que e para quaisquer funções e escalar , concluímos que a função definida por é linear.

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