Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funções
abaixo é linear:
. (Diferença central)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função
definida no conjunto das funções de
para
é linear. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a parte que fala sobre operadores lineares. Para resolver, vamos precisar lembrar o que significa uma função ser linear: ela deve respeitar duas propriedades básicas, que são a adição de funções e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é linearidade. Uma função
é linear se, para quaisquer duas funções
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
(Adição) -
(Multiplicação por escalar)
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição, a adição. Temos que:
Distribuindo a soma dentro da função, fica:
Reorganizando os termos:
Isso é exatamente
, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição, a multiplicação por escalar. Seja
um número real qualquer. Temos:
Podemos fatorar o
de fora das funções:
Fatorando o
da expressão inteira:
Isso é igual a
, ou seja:
Resposta
Como verificamos que
e
para quaisquer funções
e escalar
, concluímos que a função
definida por
é linear.
Exercícios relacionados
(1,0 ponto) Dados os vetores
e
: Determine
.
Em cada caso, escreva o vetor
como combinação linear de
(d) e
.
(d)
Verifique quais das funções abaixo são lineares.
.
Verifique quais das funções abaixo são lineares.
.