Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Diferença central)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma função definida no conjunto das funções de para é linear. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a parte que fala sobre operadores lineares. Para resolver, vamos precisar lembrar o que significa uma função ser linear: ela deve respeitar duas propriedades básicas, que são a adição de funções e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearidade. Uma função é linear se, para quaisquer duas funções e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (Adição)
  2. (Multiplicação por escalar)

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição, a adição. Temos que:
Distribuindo a soma dentro da função, fica:
Reorganizando os termos:
Isso é exatamente , ou seja:

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição, a multiplicação por escalar. Seja um número real qualquer. Temos:
Podemos fatorar o de fora das funções:
Fatorando o da expressão inteira:
Isso é igual a , ou seja:

Resposta

Como verificamos que e para quaisquer funções e escalar , concluímos que a função definida por é linear.

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(1,0 ponto) Dados os vetores e : Determine .
Em cada caso, escreva o vetor como combinação linear de
(d) e .
Verifique quais das funções abaixo são lineares. .
Verifique quais das funções abaixo são lineares. .