Em cada caso,
i) esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada;
ii) determine
iii) esboce no mesmo gráfico, o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre equações vetoriais, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial. A gente vai precisar esquematizar a curva definida pela equação vetorial dada, encontrar a derivada dessa função vetorial e, finalmente, desenhar tanto o vetor posição quanto o vetor tangente para um valor específico de . No caso, temos e vamos analisar para .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Isso significa que vamos derivar cada componente da função separadamente.
Temos:
A derivada de é e a derivada de é . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos avaliar e para .
Primeiro, calculamos :
Então:
Agora, calculamos :
Então:

Resposta

Resumindo, a derivada da função vetorial é . Para , o vetor posição é e o vetor tangente é . Assim, no gráfico da curva, você deve desenhar a curva definida por , plotar o ponto correspondente a com o vetor posição e desenhar o vetor tangente nesse mesmo ponto, indicando a direção de movimento na curva.

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