Em cada caso,
i) esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada;
ii) determine
iii) esboce no mesmo gráfico, o vetor posição
e o vetor tangente
para o valor dado de
.
i) esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada;
ii) determine
iii) esboce no mesmo gráfico, o vetor posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre equações vetoriais, que fazem parte do estudo de cálculo vetorial. A gente vai precisar esquematizar a curva definida pela equação vetorial dada, encontrar a derivada dessa função vetorial e, finalmente, desenhar tanto o vetor posição quanto o vetor tangente para um valor específico de
. No caso, temos
e vamos analisar para
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso significa que vamos derivar cada componente da função separadamente.
Temos:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos avaliar
e
para
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Agora, calculamos
:
Então:
Resposta
Resumindo, a derivada da função vetorial é
. Para
, o vetor posição é
e o vetor tangente é
. Assim, no gráfico da curva, você deve desenhar a curva definida por
, plotar o ponto correspondente a
com o vetor posição
e desenhar o vetor tangente
nesse mesmo ponto, indicando a direção de movimento na curva.
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Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
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no ponto
dado.
Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.