Determine o comprimento da curva dada.
r(t) = < 2t, 3 sen(t), 3 cos(t) >, a <= t <= b

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o comprimento da curva definida por no intervalo de de até . Então, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com geometria analítica e cálculo integral para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva , o comprimento dessa curva de até é dado por:
Onde é a derivada vetor de , e é a magnitude desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada vetor é dada pelas derivadas de cada componente de :
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude de , que é . A magnitude de um vetor é calculada por:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que , então:
Então, a magnitude fica:

Passo 6

Agora que temos a magnitude constante , podemos substituir na integral para encontrar o comprimento :

Resposta

O comprimento da curva é .

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