Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o comprimento da curva definida por
no intervalo de
de
até
. Então, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com geometria analítica e cálculo integral para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva
, o comprimento
dessa curva de
até
é dado por:
Onde
é a derivada vetor de
, e
é a magnitude desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada vetor
é dada pelas derivadas de cada componente de
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a magnitude de
, que é
. A magnitude de um vetor
é calculada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que
, então:
Então, a magnitude fica:
Passo 6
Agora que temos a magnitude constante
, podemos substituir na integral para encontrar o comprimento
:
Resposta
O comprimento da curva é
.