Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
x = t cos(2 pi t), y = t sen(2 pi t), z = 4 t, (0, 1/4, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva no ponto especificado. A gente vai precisar usar conceitos de derivada e parametrização de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto dado . Sabemos que para a curva:
Como e , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de , e em relação a . Essas derivadas nos darão o vetor tangente à curva no ponto escolhido.

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no valor :
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A fórmula geral é:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor tangente.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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