Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva no ponto especificado. A gente vai precisar usar conceitos de derivada e parametrização de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto dado . Sabemos que para a curva:
Como e , temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de , e em relação a . Essas derivadas nos darão o vetor tangente à curva no ponto escolhido.
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no valor :
Então, o vetor tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A fórmula geral é:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor tangente.