Determine o vetor tangente unitário no ponto dado.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o vetor tangente unitário no ponto onde para a função vetorial dada:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Essa derivada, , nos dá o vetor velocidade, que aponta na direção do vetor tangente à curva no ponto considerado.
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude do vetor velocidade . A magnitude é calculada usando a fórmula:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a magnitude no ponto específico :
Sabemos que:
Substituindo:

Passo 5

Finalmente, o vetor tangente unitário é dado por:
Substituindo e :
Portanto,

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é:

Exercícios relacionados

Determine o vetor tangente unitário no ponto dado.
Calcule a integral.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
Em cada caso,
i) esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada;
ii) determine
iii) esboce no mesmo gráfico, o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .