Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o comprimento da curva definida por no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de cálculo vetorial, para encontrar esse comprimento. Precisaremos calcular a derivada da função vetorial e integrar a magnitude dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada , que representa a velocidade escalar ao longo da curva.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos integrar a magnitude da derivada no intervalo de a para encontrar o comprimento da curva.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:

Resposta

O comprimento da curva é 8 unidades.

Exercícios relacionados

Determine o comprimento da curva dada.
Em cada caso,
i) esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada;
ii) determine
iii) esboce no mesmo gráfico, o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .
Determine a curvatura de no ponto dado em cada caso.
em
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.