Determine o comprimento da curva dada.
p(s) = 6 s i + 3 raiz(2) s^2 j + 2 s^3 k, 0 <= s <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o comprimento da curva definida por no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de cálculo vetorial, para encontrar esse comprimento. Precisaremos calcular a derivada da função vetorial e integrar a magnitude dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada , que representa a velocidade escalar ao longo da curva.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos integrar a magnitude da derivada no intervalo de a para encontrar o comprimento da curva.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:

Resposta

O comprimento da curva é 8 unidades.

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