Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o comprimento da curva definida por no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de cálculo vetorial, para encontrar esse comprimento. Precisaremos calcular a derivada da função vetorial e integrar a magnitude dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da derivada , que representa a velocidade escalar ao longo da curva.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos integrar a magnitude da derivada no intervalo de a para encontrar o comprimento da curva.