Em cada caso, identifique a região do plano x y cuja área é representada pela integral e calcule o valor da área.
(a) integral0^1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para identificar a região do plano xy cuja área é representada por uma integral e calcular essa área. O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente integrando para encontrar áreas. Para resolver, vamos precisar entender o que uma integral representa graficamente e como interpretá-la como área.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a integral dada:
integral0^1 dx
Essa integral está integrada em relação a x, de 0 a 1. Quando a gente vê uma integral dessa forma, sem uma função específica multiplicando o dx, significa que estamos integrando a função constante f(x) = 1. Então, a integral fica:
integral0^1 1 , dx

Passo 3

Agora, vamos interpretar graficamente. A função f(x) = 1 é uma linha reta horizontal no plano xy, que fica a 1 unidade acima do eixo x. A integral entre 0 e 1 dessa função representa a área entre essa linha, o eixo x, e os limites de x = 0 e x = 1.

Passo 4

Para calcular essa área, usamos a fórmula da integral de uma função constante. A integral de f(x) = 1 de a a b é:
integrala^b 1 , dx = b - a
Isso porque estamos basicamente medindo a largura do intervalo no eixo x multiplicada pela altura da função, que é 1.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, onde a = 0 e b = 1:
integral0^1 1 , dx = 1 - 0 = 1

Resposta

A área da região do plano xy representada pela integral integral0^1 dx é igual a 1.

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