Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. Precisamos investigar se a integral imprópria converge ou diverge. Isso significa que vamos verificar se o valor dessa integral é finito (converge) ou infinito (diverge). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impropriamente definidas, especialmente focando no comportamento da função perto dos pontos problemáticos, que neste caso é .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral. Note que a função é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Por isso, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que pode ser escrita como . A integral de é dada por , desde que . Então:
Passo 4
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Passo 5
Voltando à nossa integral original:
integral-1^1 1raiz|x| , dx = 2 times 2 = 4
Resposta
A integral imprópria integral-1^1 1raiz|x| , dx converge e seu valor é igual a 4.