Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(a) integral-1^1 1raiz|x| d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. Precisamos investigar se a integral imprópria integral-1^1 1raiz|x| , dx converge ou diverge. Isso significa que vamos verificar se o valor dessa integral é finito (converge) ou infinito (diverge). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impropriamente definidas, especialmente focando no comportamento da função perto dos pontos problemáticos, que neste caso é x = 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. Note que a função 1raiz|x| é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Por isso, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:
integral-1^1 1raiz|x| , dx = 2 integral0^1 1raizx , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral0^1 1raizx , dx. Sabemos que 1raizx pode ser escrita como x^-1/2. A integral de x^n é dada por x^n+1n+1, desde que n neq -1. Então:
integral x^-1/2 , dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = x^1/21/2 = 2raizx

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
integral0^1 1raizx , dx = 2raizx |0^1 = 2raiz1 - 2raiz0 = 2(1) - 2(0) = 2

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
integral-1^1 1raiz|x| , dx = 2 times 2 = 4

Resposta

A integral imprópria integral-1^1 1raiz|x| , dx converge e seu valor é igual a 4.

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