Em cada caso, identifique a região do plano x y cuja área é representada pela integral e calcule o valor da área.
(f) integral-5^-3(x+5) d x+integral-3^0 2 d x+integral0^4(2-raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre integrais definidas, que nos pede para identificar a região no plano xy cuja área é representada pela integral e calcular o valor dessa área. A integral que precisamos resolver é:
integral-5^-3(x+5) , dx + integral-3^0 2 , dx + integral0^4(2 - raizx) , dx
Para resolver isso, vamos calcular cada uma das integrais separadamente e somar os resultados para encontrar a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral definida. A integral integrala^b f(x) , dx representa a área sob a curva da função f(x) entre os limites x = a e x = b. Se a função estiver acima do eixo x, a área é positiva; se estiver abaixo, a área é negativa.
Vamos calcular cada uma das três integrais:
  1. Primeira integral: integral-5^-3(x+5) , dx
    Essa integral representa a área sob a linha reta y = x + 5 entre x = -5 e x = -3.
  2. Segunda integral: integral-3^0 2 , dx
    Aqui, temos uma função constante y = 2 entre x = -3 e x = 0. Isso representa uma área retangular.
  3. Terceira integral: integral0^4(2 - raizx) , dx
    Esta integral envolve a função y = 2 - raizx entre x = 0 e x = 4. Isso representa uma área sob a curva dessa função.
Vamos calcular cada integral passo a passo.

Passo 3

Calculando a primeira integral:
integral-5^-3(x+5) , dx
Para resolver essa integral, vamos encontrar a antiderivada de (x + 5):
A antiderivada de x é 12x^2 e a antiderivada de 5 é 5x. Então,
integral (x + 5) , dx = 12x^2 + 5x + C
Agora, aplicamos os limites de integração:
[12x^2 + 5x]-5^-3 = (12(-3)^2 + 5(-3)) - (12(-5)^2 + 5(-5))
Calculando cada parte:
Para x = -3:
12(9) + 5(-3) = 92 - 15 = -212
Para x = -5:
12(25) + 5(-5) = 252 - 25 = -252
Subtraindo:
-212 - (-252) = 42 = 2
Então, a primeira integral vale 2.

Passo 4

Calculando a segunda integral:
integral-3^0 2 , dx
Essa é uma integral de uma função constante, que é mais simples. A integral de uma constante k entre a e b é:
integrala^b k , dx = k(b - a)
Aplicando isso aqui:
2(0 - (-3)) = 2(3) = 6
Então, a segunda integral vale 6.

Passo 5

Calculando a terceira integral:
integral0^4(2 - raizx) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^4 2 , dx - integral0^4 raizx , dx
Primeiro, a integral de 2:
integral0^4 2 , dx = 2x gr|0^4 = 2(4) - 2(0) = 8
Agora, a integral de raizx:
Sabemos que raizx = x^1/2, e a antiderivada de x^n é x^n+1n+1. Então,
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23x^3/2 + C
Aplicando os limites de 0 a 4:
[23x^3/2]0^4 = 23(4)^3/2 - 23(0)^3/2 = 23(8) = 163
Agora, subtraímos:
8 - 163 = 243 - 163 = 83
Então, a terceira integral vale 83.

Resposta

Somando as três integrais:
2 + 6 + 83 = 8 + 83 = 243 + 83 = 323
Portanto, a área total representada pela integral é 323 unidades quadradas.

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