Em cada caso, identifique a região do plano cuja área é representada pela integral e calcule o valor da área.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre integrais definidas, que nos pede para identificar a região no plano xy cuja área é representada pela integral e calcular o valor dessa área. A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos calcular cada uma das integrais separadamente e somar os resultados para encontrar a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral definida. A integral representa a área sob a curva da função entre os limites e . Se a função estiver acima do eixo x, a área é positiva; se estiver abaixo, a área é negativa.
Vamos calcular cada uma das três integrais:
Primeira integral:
Essa integral representa a área sob a linha reta entre e .
Segunda integral:
Aqui, temos uma função constante entre e . Isso representa uma área retangular.
Terceira integral:
Esta integral envolve a função entre e . Isso representa uma área sob a curva dessa função.
Vamos calcular cada integral passo a passo.
Passo 3
Calculando a primeira integral:
Para resolver essa integral, vamos encontrar a antiderivada de :
A antiderivada de é e a antiderivada de é . Então,
Agora, aplicamos os limites de integração:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:
Então, a primeira integral vale 2.
Passo 4
Calculando a segunda integral:
Essa é uma integral de uma função constante, que é mais simples. A integral de uma constante entre e é:
Aplicando isso aqui:
Então, a segunda integral vale 6.
Passo 5
Calculando a terceira integral:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Primeiro, a integral de 2:
Agora, a integral de raizx:
Sabemos que raizx = x^1/2, e a antiderivada de x^n é x^n+1n+1. Então,
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23x^3/2 + C