Em cada caso, indique a posição relativa da reta L e do plano Pi.
L: X=(1+t,-1-2 t, 6 t), t in R, Pi: 2 x+3 y+z-1=0;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma reta e um plano , e precisamos descobrir a posição relativa entre eles. Isso envolve entender se a reta está paralela ao plano, se ela está contida no plano ou se ela intersecta o plano em um ponto.

Passo 2

Para começar, vamos identificar um ponto qualquer da reta L: X = (1 + t, -1 - 2t, 6t), t in R . Olhando para a equação paramétrica da reta:
Quando , temos o ponto .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto Pi: 2x + 3y + z - 1 = 0 está no plano 2(1) + 3(-1) + 0 - 1 = 2 - 3 + 0 - 1 = -2 neq 0 . A equação do plano é:
Substituindo as coordenadas de na equação do plano:
Como o resultado não é zero, o ponto não está no plano .

Passo 4

Em seguida, vamos analisar a direção da reta e a orientação do plano . O vetor diretor da reta é e o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Calculamos o produto escalar entre d cdot n = (1)(2) + (-2)(3) + (6)(1) = 2 - 6 + 6 = 2 e :
O produto escalar não é zero ( ), o que indica que a reta não é paralela ao plano .

Resposta

A reta intercepta o plano .

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