Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n >= 2. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(g) Se A=[ai j]4 times 4, então a41 C31+a42 C32+a43 C33+a44 C34=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se a expressão é verdadeira ou falsa para uma matriz quadrada de ordem 4. Vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre cofatores e determinantes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são cofatores. O cofator Cij = (-1)^i+j cdot det(Aij) de um elemento da matriz é dado por:
onde é a matriz que resulta de remover a linha e a coluna de .

Passo 3

Agora, existe uma propriedade importante envolvendo a soma dos produtos de elementos de uma linha (ou coluna) por seus cofatores correspondentes. Especificamente, para qualquer matriz quadrada, temos:
sumj=1^n aij Ckj = det(A) & se i = k 0 & se i neq k
Isso significa que se a linha for a mesma que a linha usada para os cofatores ( ), a soma será o determinante da matriz. Caso contrário, a soma será zero.

Passo 4

No nosso caso, temos , e . Como não é igual a (4 ≠ 3), pela propriedade que mencionamos, a soma dos produtos dos elementos da linha 4 pelos respectivos cofatores da linha 3 será igual a zero.

Resposta

A proposição é Verdadeira. .

Exercícios relacionados