Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(g) Se
, então
(g) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se a expressão
é verdadeira ou falsa para uma matriz quadrada
de ordem 4. Vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre cofatores e determinantes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são cofatores. O cofator
de um elemento
da matriz
é dado por:
onde
é a matriz que resulta de remover a linha
e a coluna
de
.
Passo 3
Agora, existe uma propriedade importante envolvendo a soma dos produtos de elementos de uma linha (ou coluna) por seus cofatores correspondentes. Especificamente, para qualquer matriz quadrada, temos:
Isso significa que se a linha
for a mesma que a linha usada para os cofatores (
), a soma será o determinante da matriz. Caso contrário, a soma será zero.
Passo 4
No nosso caso, temos
,
e
. Como
não é igual a
(4 ≠ 3), pela propriedade que mencionamos, a soma dos produtos dos elementos da linha 4 pelos respectivos cofatores da linha 3 será igual a zero.
Resposta
A proposição é Verdadeira.
.