Supondo as matrizes A, B e C inversíveis, determine X em cada equação. [(A B)^-1 B]^T=C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação com matrizes: . Nosso objetivo é determinar a matriz nessa equação. Vamos precisar entender sobre matrizes inversas e transpostas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que [ (A B)^-1 B ]^T = [ B^-1 A^-1 B ]^T = C é a inversa do produto das matrizes e . Uma propriedade importante é que . Então, podemos reescrever a equação:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte interna: B^-1 B = I . Ao multiplicar B^-1 A^-1 B = A^-1 por , a gente sabe que dá a identidade, porque é inversível:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na equação original:
[ A^-1 ]^T = C
Lembrando que a transposta da inversa é igual à inversa da transposta, ou seja:
( A^-1 )^T = ( A^T )^-1
Então, temos:
( A^T )^-1 = C

Passo 5

Queremos isolar A^T = C^-1 . Para isso, tiramos a inversa dos dois lados:

Passo 6

Por fim, para encontrar A = ( C^-1 )^T , tiramos a transposta dos dois lados:

Resposta

A = ( C^-1 )^T

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