Em cada caso, mostre as extensões par e ímpar de f(x) para um período igual a 2 L :
f(x) = { x se 0 <= x < 2, 1 se 2 <= x <= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar as extensões par e ímpar da função em um período igual a . Isso está relacionado ao estudo de funções periódicas e como podemos estender uma função definida em um intervalo específico para todo o eixo, mantendo certas simetrias. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir essas extensões par (simétrica em relação ao eixo y) e ímpar (antissimétrica em relação à origem).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função original :
Essa função está definida no intervalo de a . Nosso objetivo é estender essa função para todo o eixo, preservando a paridade (par ou ímpar) e mantendo um período de . Vamos assumir que , então o período é .

Passo 3

Extensão Par:
Para construir a extensão par, precisamos que a função seja simétrica em relação ao eixo y. Isso significa que . Vamos definir da seguinte maneira:
  1. No intervalo de a :
Substituindo :
  1. No intervalo de a :
A função já está definida:
  1. Para todo o eixo, usando a periodicidade:
Extensão Ímpar:
Para a extensão ímpar, a função deve ser antissimétrica em relação à origem, ou seja, í. Vamos definir í da seguinte forma:
  1. No intervalo de a :
í
Substituindo :
í
  1. No intervalo de a :
A função original:
í
  1. Para todo o eixo, aplicando a periodicidade:
íí

Resposta

As extensões par e ímpar de para um período igual a são:
Extensão Par:
e repetida periodicamente a cada unidades.
Extensão Ímpar:
í
e repetida periodicamente a cada unidades.

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